Bài 7.55 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 7.55 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).
Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).
Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({S_{A'B'D'}} = \frac{{{a^2}}}{2};{S_{AMN}} = \frac{{{a^2}}}{8};{S_{ABCD}} = {a^2};AA' = a\), suy ra thể tích khối chóp cụt \(AMN \cdot A'B'D'\) là:
\(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)
\( = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{a^2}}}{8} \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} } \right) = \frac{{7{a^3}}}{{24}}{\rm{.\;}}\)
b) Vì \(MN//BD\) nên \(MN//\left( {A'BD} \right)\), do đó:
\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right).\)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\).
Đặt \(h = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Bài 7.55 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản như:
Bài 7.55 thường yêu cầu học sinh chứng minh một mối quan hệ nào đó giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc tìm điều kiện để một đường thẳng song song, vuông góc hoặc cắt một mặt phẳng. Đề bài có thể cho trước các thông tin về vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng và mặt phẳng, hoặc yêu cầu học sinh tự chứng minh các thông tin đó.
Để giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ minh họa: (Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng)
Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta cần chứng minh rằng đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d không có điểm chung với mặt phẳng (P). Có thể sử dụng các định lý và tính chất liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng để chứng minh điều này.
Ngoài bài 7.55, còn rất nhiều bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán khác nhau. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải tốt các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, học sinh cần:
Để học tốt môn Toán 11, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 7.55 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập tại giaibaitoan.com, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán Toán 11.
