Bài 1.6 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về phép biến đổi lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để chứng minh các đẳng thức lượng giác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh các đẳng thức sau:
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \({\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x - 1\);
b) \({\tan ^2}x - {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x\);
c) \({(\sin x + \cos x)^2} + {(\sin x - \cos x)^2} = 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và áp dụng công thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\), \({\mathop{\rm tanx}\nolimits} = \frac{{sinx}}{{\cos x}}\) để biến đổi linh hoạt vế trái thành vế phải.
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\(\begin{array}{l}VT = {\cos ^4}x - {\sin ^4}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({\cos ^2}x - {\sin ^2}x).1 = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}x - (1 - {\cos ^2}x) = {\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}x - 1 = {\rm{VP}}\end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}VT = {\tan ^2}x - {\sin ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {\sin ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\sin }^2}x(1 - {{\cos }^2}x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.(1 - {\cos ^2}x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x = {\rm{VP}}{\rm{.}}\end{array}\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}VT = {(\sin x + \cos x)^2} + {(\sin x - \cos x)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + co{s^2}x + {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = 2({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 2.1 = 2 = {\rm{VP}}{\rm{.}}\end{array}\)
Bài 1.6 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống yêu cầu chúng ta chứng minh các đẳng thức lượng giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số để chứng minh các đẳng thức được đưa ra. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cho từng câu:
Ta có:
sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x
= 12 - 2sin2xcos2x
= 1 - 2sin2xcos2x
Vậy, sin4x + cos4x = 1 - 2sin2xcos2x (đpcm)
Ta có:
cos 2x = cos2x - sin2x
Vậy, cos2x - sin2x = cos 2x (đpcm)
Ta có:
tan2x + 1 = (sin2x / cos2x) + 1
= (sin2x + cos2x) / cos2x
= 1 / cos2x
Vậy, tan2x + 1 = 1/cos2x (đpcm)
Các bài tập về lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như vật lý, kỹ thuật điện, hàng không, và nhiều lĩnh vực khác. Việc nắm vững kiến thức về lượng giác là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế.
Để củng cố kiến thức về lượng giác, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Bài 1.6 trang 7 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về phép biến đổi lượng giác. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập và nắm vững kiến thức về lượng giác.
