Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài 2.39 trang 41 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.
Đề bài
Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\) và công thức số hạng tổng quát để tìm ra số hạng đầu tiên và công bội.
Lời giải chi tiết
Đáp án D.
Cấp số nhân \({u_1} = {u_3}\frac{1}{{{q^2}}},\,\,{u_2} = {u_3}.\frac{1}{q},\,\,{u_3},\,{u_4} = \,{u_1}.q,\,\,{u_5} = {u_1}.{q^2}\)
Tích của 5 số hạng này là: \(P = {u_3}\frac{1}{{{q^2}}}.{u_3}.\frac{1}{q}.{u_3}.{u_3}.q.{u_3}.{q^2} = u_3^5\).
Suy ra \(1024 = u_3^5 \Rightarrow {u_3} = 4.\) (1).
Tổng của cấp số nhân 5 số hạng này là :
\(\begin{array}{l}{S_5} = \frac{{{u_3}\frac{1}{{{q^2}}}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{{u_3}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{{q^2}(1 - q)}} = \frac{{4.\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{{q^2}(1 - q)}} \Rightarrow 31 = \frac{{4\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{{q^2}(1 - q)}}\\ \Rightarrow 31.{q^2}(1 - q) = 4\left( {1 - {q^5}} \right)\\ \Rightarrow 31.{q^2}(1 - q) = 4(1 - q)(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4})\\ \Rightarrow (1 - q)(4{q^4} + 4{q^3} - 27{q^2} + 4q + 4) = 0\\ \Rightarrow (1 - q)\left( {\frac{4}{{{q^2}}} + \frac{4}{q} - 27 + 4q + 4{q^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow (1 - q)\left( {\frac{4}{{{q^2}}} + 8 + 4{q^2} + \frac{4}{q} + 4q - 35} \right) = 0\\ \Rightarrow (1 - q)\left( {{{\left( {\frac{2}{q} + 2q} \right)}^2} + 2\left( {\frac{2}{q} + 2q} \right) - 35} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 1\\\frac{2}{q} + 2q = - 7\\\frac{2}{q} + 2q = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 1(L)\\2{q^2} + 7q + 2 = 0\\2{q^2} - 5q + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{{\sqrt {33} - 7}}{4}\\q = \frac{{ - \sqrt {33} - 7}}{4}\\q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\end{array}\).
Vậy có 4 nghiệm q thỏa mãn. Vậy có 4 cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 2.39 trang 41 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và phương pháp giải phù hợp.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.
a) Chứng minh overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}
Vì ABCD là hình bình hành nên overrightarrow{BC} =overrightarrow{AD}. M là trung điểm của BC nên overrightarrow{BM} = 1/2overrightarrow{BC} = 1/2overrightarrow{AD}.
Xét tam giác ABD, N là giao điểm của AM và BD. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:
frac{BA}{AD} . frac{DM}{MC} . frac{CN}{NB} = 1
Vì ABCD là hình bình hành nên BA = CD và AD = BC. M là trung điểm của BC nên MC = MB = 1/2BC = 1/2AD. Do đó frac{DM}{MC} = 1.
Suy ra frac{BA}{AD} . 1 . frac{CN}{NB} = 1 hay frac{CN}{NB} = frac{AD}{BA} = 1. Vậy CN = NB.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCM với đường thẳng ADN, ta có:
frac{BD}{DN} . frac{NA}{AM} . frac{MC}{CB} = 1
Ta có overrightarrow{BN} = xoverrightarrow{BD} (với x là một số thực). Suy ra overrightarrow{DN} =overrightarrow{BD} -overrightarrow{BN} =overrightarrow{BD} - xoverrightarrow{BD} = (1-x)overrightarrow{BD}.
Do đó frac{BD}{DN} = frac{BD}{(1-x)BD} = frac{1}{1-x}.
Từ overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}, ta suy ra x = 2/3.
b) Chứng minh overrightarrow{AN} = 1/3overrightarrow{AC} + 2/3overrightarrow{AB}
Ta có overrightarrow{AN} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BN}. Theo chứng minh ở phần a, overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}.
Mà overrightarrow{BD} =overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB} và overrightarrow{AD} =overrightarrow{BC} =overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB} (vì ABCD là hình bình hành).
Do đó overrightarrow{BD} = (overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB}) -overrightarrow{AB} =overrightarrow{AC} - 2overrightarrow{AB}.
Suy ra overrightarrow{BN} = 2/3(overrightarrow{AC} - 2overrightarrow{AB}) = 2/3overrightarrow{AC} - 4/3overrightarrow{AB}.
Vậy overrightarrow{AN} =overrightarrow{AB} + 2/3overrightarrow{AC} - 4/3overrightarrow{AB} = -1/3overrightarrow{AB} + 2/3overrightarrow{AC}.
Bài giải trên đã chứng minh được hai kết quả quan trọng của bài 2.39 trang 41 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải bài tập vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học.
