Bài 7.14 trang 30 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \).
a) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tính tang góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh có \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA}\).
Tính \(\widehat {SCA}\).
b) Chứng minh \(SB\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mp\(\left( {SAB} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {SAB} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,SB}} \right) = \widehat {B{\rm{S}}C}\).
Tính \(\widehat {BSC}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA}\).
Mặt khác tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(AC = a\sqrt 2 \) và \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Vậy đường thẳng \(SC\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(45^\circ \).
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow SB\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mp\(\left( {SAB} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {SAB} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,SB}} \right) = \widehat {B{\rm{S}}C}\).
Mặt khác tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(BC = a,SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 3 \).
Do đó \(\tan \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy tang góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 7.14 trang 30 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, chúng ta cần phân tích bài toán để tìm ra hướng giải quyết phù hợp. Thông thường, các bài toán về vectơ trong không gian có thể được giải bằng các phương pháp sau:
(Giả sử đề bài bài 7.14 là: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ CM vuông góc với vectơ A'M.)
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD và trục Oz trùng với cạnh AA'. Khi đó, ta có:
Vì M là trung điểm của cạnh AB, nên M có tọa độ là:
M(a/2; 0; 0)
Ta có vectơ CM = (a/2; b; 0) và vectơ A'M = (a/2; 0; -c)
Tính tích vô hướng của hai vectơ CM và A'M:
CM.A'M = (a/2)(a/2) + (b)(0) + (0)(-c) = a2/4
Vì tích vô hướng CM.A'M khác 0, nên vectơ CM không vuông góc với vectơ A'M.
(Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Lời giải cụ thể sẽ phụ thuộc vào đề bài của bài 7.14.)
Để nắm vững kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo các bài giảng trực tuyến hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ của giáo viên và bạn bè.
Bài 7.14 trang 30 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên đây, bạn sẽ giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.
