Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài học này thuộc chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian, tập trung vào việc hiểu rõ khái niệm và ứng dụng của phép chiếu vuông góc.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các lời giải bài tập Toán 11 chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Bài 24 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu phép chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng và một mặt phẳng lên một mặt phẳng cho trước. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến khoảng cách, góc và vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học.
Phép chiếu vuông góc của một điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H trên (P) sao cho MH vuông góc với (P). Điểm H được gọi là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Để xác định hình chiếu vuông góc, ta thường sử dụng định nghĩa và các tính chất của đường vuông góc và đường xiên.
Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các hình chiếu vuông góc của tất cả các điểm trên d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một điểm. Nếu d cắt (P) thì phép chiếu của d lên (P) là đường thẳng đi qua giao điểm của d và (P) và vuông góc với (P). Nếu d song song với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một đường thẳng song song với d.
Phép chiếu vuông góc của một mặt phẳng (P) lên mặt phẳng (Q) là mặt phẳng (P') chứa tất cả các hình chiếu vuông góc của các điểm trên (P) lên (Q). Nếu (P) và (Q) song song thì phép chiếu của (P) lên (Q) là chính mặt phẳng (P). Nếu (P) và (Q) cắt nhau thì phép chiếu của (P) lên (Q) là đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Lời giải: Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình tham số là: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t. Giao điểm H của d và (P) là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Thay tọa độ của H vào phương trình (P), ta được: (1 + t) + (2 + t) + (3 + t) - 6 = 0 => 3t = 0 => t = 0. Vậy H(1; 2; 3).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x = t, y = t, z = t và mặt phẳng (P): x + y - z = 0. Tìm phép chiếu vuông góc của d lên (P).
Lời giải: Vì d có vector chỉ phương là (1; 1; 1) và vector pháp tuyến của (P) là (1; 1; -1), nên d không vuông góc với (P). Tìm giao điểm I của d và (P): t + t - t = 0 => t = 0. Vậy I(0; 0; 0). Đường thẳng d' là phép chiếu của d lên (P) đi qua I và song song với d. Phương trình d' là: x = t, y = t, z = t.
Để nắm vững kiến thức về phép chiếu vuông góc, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức cung cấp nhiều bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng và áp dụng kiến thức vào thực tế.
Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép chiếu vuông góc sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán hình học không gian và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học ở các lớp trên.
