Bài 7.17 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông tâm (O) và các cạnh đều bằng ({rm{a}}).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) và các cạnh đều bằng \({\rm{a}}\).
a) Chứng minh rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
b) Tính góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
c) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(OM\) và mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\). Tính \({\rm{sin}}\alpha \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(SO\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên \(ABCD\) rồi suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
b) Chứng minh \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).
Tìm hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và hình chiếu của nó.
c) Kẻ \(OK \bot BC\) tại \(K,OH \bot SK\) tại \(H\) thì ta chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\),
Tìm hình chiếu vuông góc của \(OM\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(OM\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(OM\) và hình chiếu của nó.
Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc.
Lời giải chi tiết
a) Có SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.
Vì O là trung điểm của AC và BD nên SO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của hai tam giác cân SAC và SBD.
Ta có: \(SO \bot AC\); \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
b) Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO\); mà \(AO \bot BD\) (hai đường chéo hình vuông) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).
Vì \(AO \bot \left( {SBD} \right)\) nên O là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (SBD), do đó SO là hình chiếu vuông góc của SO trên mặt phẳng (SBD).
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO. Mà \(\left( {SA,SO} \right) = \widehat {ASO}\) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc \(\widehat {ASO}\). Xét tam giác SAC có
Có \(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow S{A^2} + S{C^2} = A{C^2} \Rightarrow SA \bot SC\) (định lí Pythagore đảo), suy ra tam giác SAC vuông cân tại \(S\) và \(\widehat {ASO} = {45^o}\). Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng \({45^o}\).
c) Kẻ \(OK \bot BC\) tại K, \(OH \bot SK\) tại H.
Có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOK) \Rightarrow BC \bot OH\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\SK \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC)\), hay H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC).
Suy ra HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà \(\left( {OM,MH} \right) = \widehat {OMH}\) nên góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc \(\widehat {{\rm{OMH}}}\).
Vì tam giác SAC vuông cân tại S có đường cao SO nên OA = OC = SO.
Do đó, tam giác SOC vuông cân tại O, ta lại có OM = SM = MC = \(\frac{{SC}}{2} = \frac{a}{2}\).
\(OK = \frac{a}{2}\); \(SO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(SK = \sqrt {S{B^2} - B{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác SOK vuông tại O, đường cao \({\rm{OH}}\) nên \({\rm{OH}}{\rm{.SK = SO}}{\rm{.OK}} \Leftrightarrow {\rm{OH}} = \frac{{{\rm{SO}} \cdot {\rm{OK}}}}{{SK}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vì tam giác OMH vuông tại H nên \({\rm{sin}}\alpha {\rm{\;}} = {\rm{sin}}\widehat {OMH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Bài 7.17 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, chúng ta cần phân tích bài toán để tìm ra hướng giải quyết phù hợp. Thông thường, các bài toán về vectơ trong không gian có thể được giải bằng các phương pháp sau:
(Giả sử đề bài bài 7.17 là: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ CM vuông góc với vectơ A'M.)
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD và trục Oz trùng với cạnh AA'. Khi đó, ta có:
Vì M là trung điểm của cạnh AB, nên M có tọa độ là (a/2; 0; 0).
Ta có vectơ CM = (a - a/2; b - 0; 0 - 0) = (a/2; b; 0).
Vectơ A'M = (a/2 - 0; 0 - 0; 0 - c) = (a/2; 0; -c).
Tính tích vô hướng của hai vectơ CM và A'M:
CM.A'M = (a/2)(a/2) + (b)(0) + (0)(-c) = a2/4.
Vì a2/4 ≠ 0 (trừ khi a = 0, nhưng khi đó hình hộp không tồn tại), nên vectơ CM không vuông góc với vectơ A'M.
(Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Lời giải cụ thể sẽ phụ thuộc vào đề bài của bài 7.17.)
Để nắm vững kiến thức về vectơ và các ứng dụng của vectơ trong hình học, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. Các em có thể tìm thấy các bài tập luyện tập trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức, trên các trang web học toán online hoặc trong các đề thi thử.
Bài 7.17 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức về vectơ và các ứng dụng của vectơ trong hình học. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên đây, các em học sinh sẽ giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.
