Bài 4.43 trang 71 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b) Xác định hình chiếu của điểm A qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (SCD) theo phương SB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:
+ Nếu M thuộc \(\Delta \) thì M’ là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) và \(\Delta \).
+ Nếu M không thuộc \(\Delta \) thì M’ là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng qua M song song với \(\Delta \).
Điểm M’ được gọi là hình chiếu của M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương chiếu \(\Delta \).
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD. Khi đó, SE là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng đi qua A và song song với SB cắt SE tại A’. Khi đó A’ là hình chiếu của điểm A qua phép chiếu đã cho.
Bài 4.43 trang 71 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán về ứng dụng của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4.43 trang 71 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống:
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
Gọi M(x, y, z) là một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d. Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Trong đó (x0, y0, z0) là một điểm thuộc đường thẳng d và (a, b, c) là một vector chỉ phương của đường thẳng d.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
d(M, (P)) = |Ax + By + Cz + D| / √(A2 + B2 + C2)
Trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) và D là một hằng số.
Để tìm điểm M sao cho d(M, (P)) nhỏ nhất, chúng ta cần tìm điểm M sao cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Điều này có nghĩa là vector chỉ phương (a, b, c) của đường thẳng d phải song song với vector pháp tuyến (A, B, C) của mặt phẳng (P).
Khi đó, điểm M là hình chiếu của một điểm bất kỳ trên đường thẳng d lên mặt phẳng (P). Để tìm tọa độ của điểm M, chúng ta giải hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ tìm được tọa độ của điểm M.
Giả sử đường thẳng d có phương trình tham số:
x = 1 + t
y = 2 - t
z = 3 + 2t
Và mặt phẳng (P) có phương trình:
x + y + z - 6 = 0
Để tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất, chúng ta thay x, y, z từ phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P):
(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 6 = 0
Giải phương trình này, ta được t = 0.
Thay t = 0 vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được tọa độ của điểm M:
x = 1
y = 2
z = 3
Vậy điểm M(1, 2, 3) là điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất.
Trong quá trình giải bài toán, học sinh cần chú ý các bước sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 4.43 trang 71 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống một cách hiệu quả.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống.
