Bài 1.9 trang 8 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về phép biến đổi lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để chứng minh đẳng thức hoặc giải phương trình lượng giác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Kim giờ dài 6cm và kim phút dài 11cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu?
Đề bài
Kim giờ dài 6cm và kim phút dài 11cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Từ thực tế kim giờ kim phút chạy như thế nào, ta suy ra được nó quét bao nhiêu phần của 1 vòng. 1 vòng có số đo \(2\pi \), ta dễ dàng tính được góc. Và từ góc, áp dụng công thức \(l = \alpha .R\)để tính tổng quãng đường đầu kim đi được.
Lời giải chi tiết
Một giờ kim phút quét được một vòng, tương ứng với góc lượng giác \(2\pi \); kim giờ quét được 1/12 vòng, tương ứng với góc \(2\pi .\frac{1}{{12}} = \frac{\pi }{6}\).
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là: \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\).
Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc 4/12 vòng tương ứng là \(\frac{4}{{12}}.2\pi = \frac{{2\pi }}{3}\).
Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là
\(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}\) (giờ).
Vậy sau \(\frac{1}{{11}}\) (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là
\(l = \alpha .R = 6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi = \frac{{23\pi }}{{11}}(cm)\).
Bài 1.9 trang 8 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
sin2x + cos2x = 1
Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông. Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, với góc nhọn x. Ta có:
Theo định lý Pytago, ta có: AB2 + AC2 = BC2
Thay các giá trị trên vào, ta được: cos2x + sin2x = 1
Vậy, đẳng thức sin2x + cos2x = 1 được chứng minh.
Công thức sin2x + cos2x = 1 là một trong những công thức lượng giác cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Toán 11. Công thức này được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán lượng giác, chứng minh các đẳng thức lượng giác và đơn giản hóa các biểu thức lượng giác.
Ngoài ra, công thức này còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính.
Ngoài bài tập chứng minh đẳng thức, công thức sin2x + cos2x = 1 còn được sử dụng trong các dạng bài tập sau:
Ví dụ 1: Tính giá trị của cos x khi biết sin x = 0.6
Áp dụng công thức sin2x + cos2x = 1, ta có:
cos2x = 1 - sin2x = 1 - (0.6)2 = 1 - 0.36 = 0.64
Suy ra, cos x = ±√0.64 = ±0.8
Khi giải bài tập lượng giác, cần lưu ý những điều sau:
Bài 1.9 trang 8 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về công thức lượng giác cơ bản sin2x + cos2x = 1. Việc nắm vững công thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán lượng giác một cách dễ dàng và hiệu quả hơn.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này và các bài tập tương tự trong chương trình Toán 11.
