Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài 1.17 trang 17, 18 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chính xác, dễ hiểu, cùng với các kiến thức nền tảng cần thiết để nắm vững nội dung bài học.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, giúp các em học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2 + \,3\,|\cos x\,|\);
b) \(y = 2\sqrt {\sin x} + 1\);
c)\(y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x\);
d) \(y = \sin x + \cos x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng lý thuyết \( - 1 \le \sin x \le 1\), \( - 1 \le \cos x \le 1\), \(0 \le \left| {\cos x} \right| \le 1\), \(0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\), \(0 \le \sqrt {\sin x} \le 1\), \(0 \le \sqrt {\cos x} \le 1\).
Lời giải chi tiết
a) Vì \(0 \le \,|\cos x\,|\, \le \,1\) nên \(0 \le \,3\,|\cos x\,|\, \le \,3\), do đó\(2 \le \,2 + 3\,|\cos x\,|\, \le \,5\,\forall \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi
\(|\cos x\,|\, = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).
b) Điều kiện \(\sin x \ge 0\). Vì \(0 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le \sqrt {\sin x} \le 1\) nên \(0 \le 2\sqrt {\sin x} \le 2\), do đó \(1 \le 1 + 2\sqrt {\sin x} \le 3\) với mọi x thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hay
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\sin x = 0\) hay \(x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
c) Ta có \(y = {\cos ^2}x + 4\cos 2x = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x.\)
Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),
Do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi
\(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi
\(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
d) Ta có \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi .\)
Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Rightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi .\)
Bài 1.17 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Cụ thể, bài toán yêu cầu chúng ta xác định mối quan hệ giữa các vectơ, tính độ dài của vectơ, và sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh các đẳng thức hình học.
Bài 1.17 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, được chia thành các phần nhỏ để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết. Dưới đây là phân tích chi tiết từng phần của bài tập:
Câu hỏi này yêu cầu học sinh xác định xem hai vectơ có cùng phương, ngược phương, hoặc vuông góc hay không. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Nếu tích vô hướng bằng 0, hai vectơ vuông góc. Nếu tích vô hướng dương, hai vectơ hợp góc nhọn. Nếu tích vô hướng âm, hai vectơ hợp góc tù.
Để tính độ dài của vectơ, chúng ta sử dụng công thức: |a| = √(x² + y² + z²), trong đó a = (x, y, z) là vectơ cần tính độ dài.
Để chứng minh đẳng thức vectơ, chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức để đưa về vế phải, hoặc ngược lại. Trong quá trình biến đổi, chúng ta cần sử dụng các tính chất của vectơ, như tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối, và các công thức liên quan đến tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ.
Ví dụ: Cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (-2, -4, -6). Chứng minh rằng vectơ a và vectơ b ngược phương.
Giải:
Bài 1.17 trang 17, 18 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ trong không gian. Bằng cách nắm vững kiến thức nền tảng, sử dụng các phương pháp giải bài tập hiệu quả, và luyện tập thường xuyên, các em có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Để củng cố kiến thức vừa học, các em hãy tự giải các bài tập sau:
Giaibaitoan.com hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những thông tin hữu ích và giúp các em học tập tốt hơn. Chúc các em thành công!
