Giải bài 4.53 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 4.53 trang 72 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 4.53 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán về ứng dụng của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

• Phương trình đường thẳng trong không gian
• Phương trình mặt phẳng trong không gian
• Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng (song song, vuông góc, cắt nhau)
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4.53 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống:

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD.

1. Chứng minh rằng AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).
2. Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).
3. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Lời giải:

a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SCD):

Ta có:

• ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD.
• SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD.
• Do đó, CD ⊥ (SA, AD).
• Vì CD ⊥ (SA, AD) và AM nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên CD ⊥ AM.
• Mặt khác, AM là đường trung tuyến của tam giác ADC vuông tại D nên AM = MC = MD = a/2.
• Xét tam giác SAM, ta có SA ⊥ AM (do SA ⊥ (ABCD)).
• Vậy AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD):

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). Vì SA ⊥ (ABCD) nên H trùng với A.

Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD) là góc SMA.

Ta có: tan(SMA) = SA/AM = a/(a/2) = 2.

Vậy góc SMA = arctan(2).

c) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD):

Gọi d là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Ta có: V_S.ABD = (1/3) * S_ABD * SA = (1/3) * (a²/2) * a = a³/6.

Mặt khác, V_S.ABD = (1/3) * S_ABD * d = (1/3) * (a²/2) * d.

Suy ra: a³/6 = (1/3) * (a²/2) * d.

Vậy d = a/√2 = a√2/2.

Kết luận: Bài 4.53 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hình học không gian và vận dụng linh hoạt các công thức tính toán. Việc hiểu rõ bản chất của bài toán và các bước giải sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài tập tương tự.

Các dạng bài tập tương tự:

Ngoài bài 4.53, học sinh có thể tham khảo các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:

• Chứng minh quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 4.53 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống và tự tin giải các bài tập tương tự.