Chào mừng các em học sinh đến với bài học về phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 - Kết nối tri thức. Bài 17 này thuộc SBT Toán Tập 2, Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách xác định phương trình mặt cầu, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chúng.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính). Phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz có dạng:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Trong đó:
Phương trình chính tắc của mặt cầu với tâm I(a, b, c) và bán kính R là:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:
x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Với điều kiện: a² + b² + c² - d > 0
Cho phương trình mặt cầu: (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 3)² = 9
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Lời giải:
So sánh với phương trình chính tắc của mặt cầu, ta có:
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, 2, -1) và đi qua điểm A(3, 1, 0).
Lời giải:
Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A:
R = IA = √((3 - 1)² + (1 - 2)² + (0 - (-1))²) = √(4 + 1 + 1) = √6
Vậy phương trình mặt cầu là:
(x - 1)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 6
Để xác định vị trí tương đối giữa một điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt cầu (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², ta tính khoảng cách d từ M đến tâm I(a, b, c):
d = MI = √((x₀ - a)² + (y₀ - b)² + (z₀ - c)²)
Nếu:
Để tìm phương trình mặt cầu đi qua các điểm cho trước, ta thay tọa độ các điểm vào phương trình tổng quát của mặt cầu và giải hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c, d.
Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một kho bài tập phong phú, đa dạng, giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình mặt cầu. Chúc các em học tập tốt!
