Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai - SBT Toán 10 - Kết nối tri thức: Giải pháp chi tiết và hướng dẫn

Bài 18 trong sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức tập trung vào việc giải các phương trình không phải là phương trình bậc hai trực tiếp, mà có thể được biến đổi về dạng phương trình bậc hai quen thuộc. Đây là một kỹ năng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán đại số và là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

I. Lý thuyết cơ bản

Để giải các phương trình quy về phương trình bậc hai, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Biến đổi phương trình: Sử dụng các phép biến đổi đại số (như nhân, chia, cộng, trừ) để đưa phương trình về dạng ax² + bx + c = 0, với a ≠ 0.
2. Giải phương trình bậc hai: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
3. Kiểm tra nghiệm: Thay các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện của phương trình hay không.

II. Các dạng phương trình thường gặp

Có một số dạng phương trình thường gặp được quy về phương trình bậc hai:

• Phương trình chứa căn thức: Ví dụ: √(x+1) = x-1. Để giải, ta bình phương hai vế để khử căn thức, sau đó giải phương trình bậc hai thu được.
• Phương trình chứa mẫu thức: Ví dụ: 1/(x-1) + 2/(x+1) = 1. Ta quy đồng mẫu số, sau đó giải phương trình bậc hai thu được.
• Phương trình tích: Ví dụ: (x-2)(x+3) = 0. Phương trình tích bằng 0 khi và chỉ khi một trong các nhân tử bằng 0.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình √(x² - 3x + 2) = x - 1

Giải:

1. Bình phương hai vế: x² - 3x + 2 = (x - 1)² = x² - 2x + 1
2. Giải phương trình: x² - 3x + 2 - x² + 2x - 1 = 0 => -x + 1 = 0 => x = 1
3. Kiểm tra nghiệm: Thay x = 1 vào phương trình ban đầu: √(1² - 3(1) + 2) = 1 - 1 => √0 = 0 (đúng)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

Ví dụ 2: Giải phương trình 1/(x+2) + 3/(x-2) = 2

Giải:

1. Quy đồng mẫu số: (x-2) + 3(x+2) = 2(x² - 4)
2. Giải phương trình: x - 2 + 3x + 6 = 2x² - 8 => 4x + 4 = 2x² - 8 => 2x² - 4x - 12 = 0 => x² - 2x - 6 = 0
3. Giải phương trình bậc hai: x = (2 ± √(4 - 4(-6))) / 2 = (2 ± √28) / 2 = 1 ± √7
4. Kiểm tra nghiệm: Thay x = 1 + √7 và x = 1 - √7 vào phương trình ban đầu để kiểm tra.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + √7 và x = 1 - √7.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Giải phương trình √(x² + x - 6) = x
• Giải phương trình 2/(x-1) - 1/(x+1) = 1
• Giải phương trình (x+1)(x-3) = 0

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai. Chúc các em học tập tốt!