Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Bài 19 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức đi sâu vào hai khái niệm then chốt của lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi thông tin về sự kiện đó được chia thành các trường hợp khác nhau.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng khi chúng ta muốn tính xác suất của một sự kiện A, nhưng sự kiện A có thể xảy ra thông qua nhiều sự kiện khác nhau, gọi là các sự kiện xung khắc B₁, B₂, ..., B_n, sao cho:

• Các sự kiện B₁, B₂, ..., B_n là xung khắc từng đôi một.
• B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n là một sự kiện chắc chắn.

Công thức xác suất toàn phần được biểu diễn như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của sự kiện A.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B_i đã xảy ra.
• P(B_i) là xác suất của sự kiện B_i.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một sự kiện B_i khi biết sự kiện A đã xảy ra. Công thức Bayes được biểu diễn như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

• P(B_i|A) là xác suất có điều kiện của sự kiện B_i khi biết sự kiện A đã xảy ra.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B_i đã xảy ra.
• P(B_i) là xác suất của sự kiện B_i.
• P(A) là xác suất của sự kiện A (được tính bằng công thức xác suất toàn phần).

3. Ví dụ minh họa

Xét một nhà máy có ba dây chuyền sản xuất A, B, và C. Dây chuyền A sản xuất 40% tổng số sản phẩm, dây chuyền B sản xuất 30% tổng số sản phẩm, và dây chuyền C sản xuất 30% tổng số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền A là 2%, của dây chuyền B là 3%, và của dây chuyền C là 4%. Nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ tổng số sản phẩm của nhà máy và phát hiện là bị lỗi, hãy tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền A.

Giải:

• Gọi A là sự kiện sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• Gọi B₁ là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A.
• Gọi B₂ là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B.
• Gọi B₃ là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền C.

Ta có:

• P(B₁) = 0.4
• P(B₂) = 0.3
• P(B₃) = 0.3
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03
• P(A|B₃) = 0.04

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + P(A|B₃)P(B₃) = (0.02 * 0.4) + (0.03 * 0.3) + (0.04 * 0.3) = 0.008 + 0.009 + 0.012 = 0.029

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.4) / 0.029 = 0.008 / 0.029 ≈ 0.2759

Vậy, xác suất sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền A là khoảng 27.59%.

4. Luyện tập và ứng dụng

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể được tìm thấy trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, trên các trang web học toán online, hoặc trong các đề thi thử.

Hai công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như y học, kinh tế, kỹ thuật, và khoa học xã hội. Ví dụ, trong y học, công thức Bayes có thể được sử dụng để tính xác suất một bệnh nhân mắc bệnh khi biết kết quả xét nghiệm của họ. Trong kinh tế, công thức Bayes có thể được sử dụng để dự đoán xu hướng thị trường.