Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp - SBT Toán 10 - Cánh diều: Giải pháp chi tiết

Bài 2 trong chương Đại số tổ hợp của sách bài tập Toán 10 Cánh diều tập trung vào hai khái niệm quan trọng: hoán vị và chỉnh hợp. Việc nắm vững hai khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán đếm phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Khái niệm về Hoán vị

Hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính theo công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Khái niệm về Chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được chọn từ n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính theo công thức:

A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 10 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₁₀² = 10! / (10-2)! = 10! / 8! = 10 x 9 = 90

3. Phân biệt Hoán vị và Chỉnh hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị và chỉnh hợp nằm ở số lượng phần tử được sử dụng. Trong hoán vị, tất cả các phần tử của tập hợp đều được sử dụng, trong khi trong chỉnh hợp, chỉ một số lượng nhỏ hơn các phần tử được chọn và sắp xếp.

4. Bài tập minh họa và lời giải

Bài 1: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: Đây là một bài toán chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Số lượng số có 3 chữ số khác nhau là A₅³ = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Bài 2: Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một hàng ngang?

Giải: Đây là một bài toán hoán vị của 5 phần tử. Số cách xếp là P₅ = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

5. Ứng dụng của Hoán vị và Chỉnh hợp

Hoán vị và chỉnh hợp có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Mật mã học: Sử dụng hoán vị để mã hóa và giải mã thông tin.
Thống kê: Tính toán số lượng các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm.
Lập trình: Sắp xếp dữ liệu và tìm kiếm thông tin.

6. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về hoán vị và chỉnh hợp, bạn có thể thực hành thêm các bài tập sau:

Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 3 người (chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký) từ một lớp 20 học sinh?
Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về hoán vị và chỉnh hợp. Chúc bạn học tập tốt!