Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương VIII của sách Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc hiểu rõ ba khái niệm này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán đếm trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng khác.

1. Hoán vị (Permutation)

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Chỉnh hợp (Combination with Repetition)

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được chọn là quan trọng. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₅² = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20

3. Tổ hợp (Combination)

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được chọn không quan trọng. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 5 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₅³ = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4 x 3!) / (3! x 2 x 1) = 10

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

• Hoán vị: Sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp.
• Chỉnh hợp: Chọn và sắp xếp một số phần tử từ tập hợp.
• Tổ hợp: Chọn một số phần tử từ tập hợp mà không quan tâm đến thứ tự.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
2. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một lớp 6 học sinh để làm nhiệm vụ?
3. Có bao nhiêu cách chọn 3 quả bóng từ một hộp chứa 5 quả bóng khác nhau?

6. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán đếm phức tạp hơn trong các bài học tiếp theo. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu rõ hơn về các công thức và ứng dụng của chúng.