Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài 2: Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức - Toán 12 Cánh Diều

I. Giới thiệu chung

Trong thống kê, phân bố xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả khả năng xảy ra của các sự kiện. Bài học này sẽ đi sâu vào hai phân bố rời rạc cơ bản: Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức. Việc nắm vững kiến thức về hai phân bố này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc một cách hiệu quả.

II. Phân bố Bernoulli

1. Định nghĩa

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

2. Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của phân bố Bernoulli được định nghĩa như sau:

• P(X = 1) = p
• P(X = 0) = 1 - p

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tung một đồng xu. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

III. Phân bố Nhị thức

1. Định nghĩa

Phân bố Nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Nhị thức được ký hiệu là X ~ B(n, p).

2. Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của phân bố Nhị thức được định nghĩa như sau:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó: C_n^k là tổ hợp chập k của n.

3. Các đặc trưng của phân bố Nhị thức

• Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
• Phương sai: Var(X) = np(1 - p)
• Độ lệch chuẩn: σ = √(np(1 - p))

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tung một đồng xu 10 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố Nhị thức B(10, 0.5). Xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 5 lần là:

P(X = 5) = C₁₀⁵ * (0.5)⁵ * (0.5)⁵ = 252 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.246

IV. Bài tập vận dụng

1. Một hộp chứa 10 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 7 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
2. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là 0.8. Người đó bắn 5 lần. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu ít nhất 4 lần.

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về phân bố Bernoulli và phân bố Nhị thức. Việc hiểu rõ hai phân bố này là rất quan trọng để các em có thể giải quyết các bài toán thống kê một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào thực tế.