Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - Giải chi tiết

Bài 20 trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, cũng như cách tính góc và khoảng cách liên quan đến chúng. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng vào hình học.

I. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta xét hệ số góc của chúng. Giả sử hai đường thẳng có phương trình:

• d₁: y = a₁x + b₁
• d₂: y = a₂x + b₂

Khi đó:

• Nếu a₁ ≠ a₂: Hai đường thẳng cắt nhau.
• Nếu a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂: Hai đường thẳng song song.
• Nếu a₁ = a₂ và b₁ = b₂: Hai đường thẳng trùng nhau.

II. Góc giữa hai đường thẳng

Góc θ giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ được tính bằng công thức:

tan θ = |(a₂ - a₁) / (1 + a₁a₂)|

Lưu ý: Nếu 1 + a₁a₂ = 0 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.

III. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính bằng công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

IV. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d₁: y = 2x + 1 và d₂: y = -x + 4. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng này.

Giải: Ta có a₁ = 2 và a₂ = -1. Vì a₁ ≠ a₂ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Bài tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: y = x và d₂: y = -x.

Giải: Ta có a₁ = 1 và a₂ = -1. Khi đó:

tan θ = |(-1 - 1) / (1 + 1*(-1))| = |-2 / 0| = ∞

Suy ra θ = 90^o. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Bài tập 3: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng Δ: 3x + 4y - 5 = 0.

Giải: Ta có d = |3*1 + 4*2 - 5| / √(3² + 4²) = |3 + 8 - 5| / √25 = 6 / 5 = 1.2

V. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến như giaibaitoan.com. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về lý thuyết và áp dụng thành thạo vào giải quyết các bài toán thực tế.

Ngoài ra, các em cũng nên tham khảo các tài liệu tham khảo khác để mở rộng kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. Chúc các em học tập tốt!