Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 21 thuộc chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, tập trung vào việc nghiên cứu đường tròn trong hệ tọa độ Descartes. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10, đặt nền móng cho các kiến thức hình học giải tích ở các lớp trên.

I. Khái niệm cơ bản về đường tròn

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính). Công thức tổng quát để xác định một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• (a, b) là tọa độ của tâm đường tròn
• R là bán kính của đường tròn

II. Phương trình đường tròn

Có hai dạng phương trình đường tròn thường gặp:

1. Phương trình chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R²
2. Phương trình tổng quát: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

Để chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình chính tắc, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ tâm I(a, b) theo công thức: a = -A/2, b = -B/2 (với A, B là hệ số của x và y trong phương trình tổng quát)
2. Tính bán kính R theo công thức: R = √(a² + b² - c)

III. Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn

Phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi:

a² + b² - c > 0

Nếu a² + b² - c = 0, phương trình biểu diễn một điểm (tâm đường tròn có bán kính bằng 0).

Nếu a² + b² - c < 0, phương trình không biểu diễn tập hợp điểm nào.

IV. Các bài toán thường gặp

Bài toán 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

Cho phương trình đường tròn (x + 2)² + (y - 3)² = 16. Xác định tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Tâm của đường tròn là I(-2, 3). Bán kính của đường tròn là R = √16 = 4.

Bài toán 2: Viết phương trình đường tròn

Viết phương trình đường tròn có tâm I(1, -2) và đi qua điểm A(3, 1).

Lời giải:

Bán kính của đường tròn là R = IA = √((3 - 1)² + (1 - (-2))²) = √(2² + 3²) = √13.

Phương trình đường tròn là: (x - 1)² + (y + 2)² = 13.

V. Ứng dụng của đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Đường tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học, vật lý, kỹ thuật. Ví dụ:

• Trong kiến trúc: Thiết kế các công trình có hình tròn, vòm tròn.
• Trong cơ học: Mô tả quỹ đạo chuyển động tròn của các vật thể.
• Trong địa lý: Xác định vị trí trên bề mặt Trái Đất (coi như hình cầu).

Hi vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em đã có cái nhìn tổng quan về Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.