Bài 25. Nhị thức Newton

Bài 25 trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu Nhị thức Newton, một công cụ quan trọng trong đại số tổ hợp, cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả.

1. Hệ số nhị thức và tam giác Pascal

Để hiểu rõ về Nhị thức Newton, trước tiên chúng ta cần nắm vững khái niệm về hệ số nhị thức, ký hiệu là C^k_n (đọc là "C k trên n"), được định nghĩa là số cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Công thức tính hệ số nhị thức là:

C^k_n = n! / (k! * (n-k)!)

Trong đó, n! (n giai thừa) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n.

Tam giác Pascal là một công cụ trực quan giúp chúng ta dễ dàng tính toán các hệ số nhị thức. Mỗi hàng của tam giác Pascal tương ứng với một giá trị của n, và các số trong hàng đó là các hệ số nhị thức C^k_n với k chạy từ 0 đến n.

2. Công thức Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton phát biểu rằng:

(a + b)ⁿ = Σⁿ_k=0 C^k_n * a^n-k * b^k

Trong đó, Σ là ký hiệu tổng, và công thức này cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)ⁿ thành một tổng của các số hạng, mỗi số hạng chứa một hệ số nhị thức và các lũy thừa của a và b.

3. Ứng dụng của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Khai triển biểu thức: Sử dụng công thức Nhị thức Newton để khai triển các biểu thức đại số phức tạp.
Tính xác suất: Hệ số nhị thức xuất hiện trong nhiều bài toán về xác suất, ví dụ như tính xác suất của một sự kiện trong một chuỗi các thử nghiệm Bernoulli.
Phân tích tổ hợp: Nhị thức Newton được sử dụng để giải quyết các bài toán về tổ hợp, ví dụ như tính số cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử.