Bài 3. Nhị thức Newton

Bài 3. Nhị thức Newton - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu và ứng dụng Nhị thức Newton. Đây là một công cụ quan trọng trong đại số, cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả, đặc biệt khi n là một số nguyên dương lớn. Việc nắm vững công thức và các tính chất liên quan đến nhị thức Newton là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng khác.

1. Công thức Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton được phát biểu như sau:

(a + b)^n = C_n⁰aⁿb⁰ + C_n¹a^n-1b¹ + C_n²a^n-2b² + ... + C_nⁿa⁰bⁿ

Trong đó:

n là số nguyên dương.
C_n^k là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: C_n^k = n! / (k! * (n-k)!).

2. Các tính chất của hệ số nhị thức

Hệ số nhị thức có một số tính chất quan trọng:

C_n^k = C_n^n-k (Tính đối xứng)
C_n⁰ = C_nⁿ = 1
C_n¹ = C_n^n-1 = n

3. Ứng dụng của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:

Khai triển biểu thức đại số.
Tính xác suất trong thống kê.
Giải các bài toán tổ hợp.
Trong khoa học máy tính (ví dụ: trong thuật toán).

4. Giải bài tập minh họa

Ví dụ 1: Khai triển (x + 2)^3

Áp dụng công thức Nhị thức Newton:

(x + 2)^3 = C₃⁰x³2⁰ + C₃¹x²2¹ + C₃²x¹2² + C₃³x⁰2³

= 1*x³*1 + 3*x²*2 + 3*x*4 + 1*1*8

= x³ + 6x² + 12x + 8

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x² trong khai triển (2x - 1)^5

Hệ số của x² là C₅³(2x)²(-1)³ = 10 * 4x² * (-1) = -40x². Vậy hệ số của x² là -40.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về Nhị thức Newton, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy bắt đầu với các bài tập trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo, sau đó tìm kiếm thêm các bài tập nâng cao để thử thách bản thân.