Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - Giải chi tiết

1. Định lý

Trong một tam giác, cạnh lớn nhất đối diện với góc lớn nhất, cạnh nhỏ nhất đối diện với góc nhỏ nhất.

Phát biểu khác: Nếu một cạnh của tam giác lớn hơn một cạnh khác thì góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, và ngược lại.

2. Chứng minh định lý

(Chứng minh có thể được trình bày bằng hình vẽ và giải thích chi tiết, sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức tam giác và so sánh góc trong tam giác. Phần này cần trình bày đầy đủ các bước chứng minh theo sách giáo khoa.)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, AC = 6cm. Hãy so sánh các góc của tam giác ABC.

Giải:

Vì BC > AC > AB (7 > 6 > 5)
Suy ra: ∠BAC > ∠ABC > ∠ACB (góc đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Ví dụ 2: Cho tam giác MNP có ∠M = 70°, ∠N = 50°. Hãy so sánh các cạnh của tam giác MNP.

Giải:

Vì ∠M > ∠N (70° > 50°)
Suy ra: NP > MP (cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
∠P = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 70° - 50° = 60°
Vì ∠N > ∠P (50° < 60°)
Suy ra: MP > MN

Vậy: NP > MP > MN

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác DEF có DE = 4cm, EF = 6cm, DF = 5cm. Hãy xác định góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tam giác DEF.

Bài 2: Cho tam giác GHI có ∠G = 80°, ∠H = 40°. Hãy so sánh các cạnh của tam giác GHI.

Bài 3: Trong một tam giác, nếu một góc bằng 90° thì cạnh đối diện với góc đó có mối quan hệ gì với các cạnh còn lại?

5. Mở rộng kiến thức

Định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong hình học. Nó được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là trong việc so sánh các yếu tố của tam giác.

Ngoài ra, định lý này còn có liên hệ mật thiết với các định lý khác trong hình học, chẳng hạn như định lý về tổng ba góc trong một tam giác, định lý về bất đẳng thức tam giác. Việc nắm vững định lý này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các khái niệm và định lý khác trong hình học.