Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác - Vở thực hành Toán 7

Trong hình học lớp 7, việc tìm hiểu về các đường đồng quy trong tam giác là một phần quan trọng. Bài 35 tập trung vào sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao, hai loại đường đặc biệt trong tam giác.

I. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

II. Ba đường trung trực đồng quy

Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tức là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

Chứng minh:

1. Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực d₁ và d₂ của các cạnh AB và AC.
2. Vì O nằm trên d₁ nên OA = OB.
3. Vì O nằm trên d₂ nên OA = OC.
4. Từ OA = OB và OA = OC suy ra OA = OB = OC.
5. Do đó, O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
6. Vậy, O nằm trên đường trung trực của cạnh BC.
7. Suy ra ba đường trung trực d₁, d₂ và d₃ đồng quy tại O.

III. Đường cao của một tam giác

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (hoặc đường kéo dài của cạnh đối diện).

IV. Ba đường cao đồng quy

Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là trực tâm của tam giác.

Chứng minh:

1. Gọi H là giao điểm của hai đường cao AH và BK.
2. Vì AH ⊥ BC và BK ⊥ AC nên góc BHC = 180° - C.
3. Xét tam giác BHC, ta có: CH ⊥ AB.
4. Vậy, ba đường cao AH, BK và CL đồng quy tại H.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng HA = 2RcosA, HB = 2RcosB, HC = 2RcosC (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

VI. Lưu ý quan trọng

• Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của đường trung trực và đường cao.
• Nắm vững các định lý về sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao.
• Luyện tập các bài tập vận dụng để củng cố kiến thức.

Hy vọng với bài viết này, các em học sinh đã nắm vững kiến thức về Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác. Chúc các em học tập tốt!