Bài 4. Tiếp tuyến của đường tròn

Bài 4. Tiếp tuyến của đường tròn - Giải chi tiết và hướng dẫn

I. Khái niệm cơ bản về tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến của một đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm. Đường thẳng đi qua tâm của đường tròn và vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm được gọi là bán kính đến tiếp điểm.

Định lý 1: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn tại một điểm thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính nối từ tâm của đường tròn đến điểm đó.

Định lý 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn và vuông góc với bán kính nối từ tâm của đường tròn đến điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

II. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm nằm ngoài đường tròn thì:

Khoảng cách từ điểm đó đến các tiếp điểm bằng nhau.
Tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến đi qua tâm của đường tròn.

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Bài tập 1: Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Chứng minh rằng AB = AC.

Lời giải:

Xét tam giác ABO và ACO, ta có:
OA chung
∠OBA = ∠OCA = 90° (tính chất tiếp tuyến)
OB = OC = R (bán kính)
Suy ra: ΔABO = ΔACO (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Do đó: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Bài tập 2: Cho đường tròn (O) có bán kính 5cm và một điểm A cách tâm O một khoảng 13cm. Vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Lời giải:

Xét tam giác OBA vuông tại B, ta có:

AB² = OA² - OB² (định lý Pitago)

AB² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

AB = √144 = 12cm

IV. Các dạng bài tập thường gặp