Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 4 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục tọa độ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa tích phân và hình học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a và x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx.
• Chú ý về dấu của f(x): Nếu f(x) > 0 trên [a, b] thì ∫_a^b f(x) dx là diện tích hình phẳng. Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì ∫_a^b f(x) dx là diện tích với dấu âm, do đó cần lấy trị tuyệt đối.
• Các trường hợp đặc biệt: Khi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) (với f(x) ≥ g(x) trên [a, b]), diện tích hình phẳng được tính bằng công thức: ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx.

II. Giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 12 Cánh diều - Bài 4

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong sách bài tập:

Bài 4.1

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và các đường thẳng x = -1, x = 2.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3.

Bài 4.2

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin(x), trục Ox và các đường thẳng x = 0, x = π.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 + 1 = 2.

Bài 4.3

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x³ - 3x và trục Ox.

Lời giải:

Trước hết, tìm giao điểm của đường cong với trục Ox: x³ - 3x = 0 ⇔ x(x² - 3) = 0 ⇔ x = 0, x = √3, x = -√3.

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫_-√3⁰ (x³ - 3x) dx + ∫₀^√3 -(x³ - 3x) dx.

Tính từng tích phân:

• ∫_-√3⁰ (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - (3x²)/2]_-√3⁰ = 0 - [(3) - (9/2)] = 3/2.
• ∫₀^√3 -(x³ - 3x) dx = [-x⁴/4 + (3x²)/2]₀^√3 = [-(3) + (9/2)] - 0 = 3/2.

Vậy diện tích hình phẳng là: 3/2 + 3/2 = 3.

III. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

IV. Kết luận

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới. Chúc bạn học tốt!