bài toán cực trị số phức

Sự thay đổi trong xu hướng đề bài số phức tại các kỳ thi THPT Quốc gia và tuyển sinh Đại học

Trong quá khứ, khi kỳ thi THPT Quốc gia và các kỳ thi tuyển sinh Đại học môn Toán còn sử dụng hình thức tự luận, các bài toán liên quan đến số phức thường có độ khó vừa phải, đóng vai trò như những câu hỏi “mở đầu” giúp học sinh dễ dàng đạt điểm. Tuy nhiên, kể từ năm 2016, với việc chuyển đổi sang hình thức trắc nghiệm, cấu trúc đề thi môn Toán đã có sự thay đổi đáng kể. Các bài toán về số phức, đặc biệt là các bài toán cực trị số phức, bắt đầu được sử dụng như một công cụ để phân loại học sinh khá – giỏi, đòi hỏi tư duy sâu sắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.

Sự nổi lên của bài toán cực trị số phức có thể được bắt đầu từ năm học 2017 – 2018, khi Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố đề thi minh họa THPT Quốc gia 2018 môn Toán. Kể từ đó, các dạng bài này xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi thử THPT Quốc gia do các trường THPT, trường chuyên và Sở Giáo dục và Đào tạo tổ chức, khẳng định tầm quan trọng của việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán này.

Phân loại bài toán cực trị số phức và tài liệu hỗ trợ học tập

Nhìn chung, các bài toán cực trị số phức thường được tiếp cận và giải quyết bằng hai phương pháp chính:

1. Phương pháp hình học: Sử dụng biểu diễn hình học của số phức trên mặt phẳng phức để tìm ra các điểm thỏa mãn điều kiện bài toán và xác định cực trị dựa trên các tính chất hình học.
2. Phương pháp đại số: Biến đổi các biểu thức số phức bằng các phép toán đại số, sử dụng các bất đẳng thức và kỹ thuật tối ưu hóa để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức cần tìm.

Để hỗ trợ học sinh lớp 12 trong việc làm quen và nắm vững các kỹ thuật giải bài toán cực trị số phức, giaibaitoan.com cung cấp một tài liệu tham khảo hữu ích. Tài liệu này bao gồm 51 trang với hơn 100 bài toán cực trị số phức được trích chọn từ các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán, đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán.

Ví dụ minh họa từ tài liệu:

• Bài toán 1: Cho hai số phức z₁, z₂ đồng thời thỏa mãn |z − 1| = √34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| trong đó m ∈ R, sao cho |z₁ − z₂| lớn nhất. Khi đó giá trị của |z₁ + z₂| bằng?
• Bài toán 2: Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn |iz + 1 + 2i| = 3 và biểu thức T = 2|z + 5 + 2i| + 3|z − 3i| đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T. Giá trị của tích Mn là?
• Bài toán 3: Trong các số phức z có phần ảo dương thỏa mãn |z² + 1| = 2|z|, gọi z₁ và z₂ lần lượt là các số phức có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó mô-đun của số phức w = z₁ + z₂ là?

Nhận xét: Các bài toán ví dụ cho thấy tính đa dạng và độ phức tạp của bài toán cực trị số phức. Việc giải quyết chúng đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về số phức, các phép toán trên số phức, cũng như khả năng áp dụng linh hoạt các phương pháp hình học và đại số.