giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh/thành phố, cụ thể là đề thi chọn đội tuyển dự thi cấp Quốc gia năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tiền Giang. Kỳ thi được tổ chức trong hai ngày 04/10/2022 và 05/10/2022.
Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được thiết kế không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tế, cũng như khả năng phân tích, tổng hợp và đưa ra lời giải chính xác.
Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở S. Gọi M là trung điểm BC. EM cắt SC tại I, FM cắt SB tại J.
Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác (trực tâm, trung điểm cạnh) và các định lý liên quan đến đường thẳng, đường tròn. Việc chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn thường đòi hỏi việc sử dụng các góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, hoặc các tính chất về tứ giác nội tiếp. Phần b của bài toán yêu cầu học minh chứng sự thẳng hàng, thường sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus, hoặc các phương pháp tọa độ.
Cho p là số nguyên tố có dạng 4k + 1 (k thuộc N). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương a sao cho a2 + 1 chia hết cho p.
Nhận xét: Bài toán đại số này liên quan đến lý thuyết số, cụ thể là các tính chất của số nguyên tố và phần dư. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững định lý Fermat nhỏ và các tính chất của căn bậc hai modulo p. Bài toán này thường được giải bằng cách sử dụng tính chất của số chính phương và việc xét các giá trị của a.
Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên x, y, z, w với 0 < w < p thỏa mãn x2 + y2 + z2 − wp = 0.
Nhận xét: Đây là một bài toán đại số khác thuộc lĩnh vực lý thuyết số. Bài toán này yêu cầu học sinh chứng minh sự tồn tại của một nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Để giải bài toán này, có thể sử dụng các phương pháp như xét các trường hợp, sử dụng tính chất của số chính phương, hoặc áp dụng các kết quả trong lý thuyết số.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải các bài toán trong đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
