giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày: ngày 30/09/2022 (Ngày thi thứ nhất) và ngày 01/10/2022 (Ngày thi thứ hai). Đây là một đề thi có chất lượng, thể hiện rõ xu hướng ra đề của các kỳ thi chọn đội tuyển quốc gia môn Toán trong những năm gần đây.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua C song song với AB cắt BE tại M, đường thẳng qua B song song với AC cắt CF tại N. Điểm D là hình chiếu của H trên MN, I là trung điểm của BC.
Nhận xét: Đây là một bài hình học điển hình, đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đường cao, tính chất đối xứng, đường tròn ngoại tiếp và các định lý liên quan đến điểm đồng quy. Ý 1 có thể giải quyết bằng định lý Ceva hoặc Menelaus trong tam giác. Ý 2 là một bài toán khó, đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt các kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là việc sử dụng tính chất của đường tròn và các điểm đặc biệt trong tam giác.
Cho số nguyên dương n và số nguyên tố lẻ p. Biết p là ước của 3^(2^n) + 1, chứng minh p – 1 chia hết cho 2^(n + 1).
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, yêu cầu thí sinh nắm vững các kiến thức về đồng dư, lũy thừa và tính chất của số nguyên tố. Để giải quyết bài toán, cần sử dụng các kỹ thuật nâng cao như định lý Fermat nhỏ, định lý Euler và các tính chất liên quan đến lũy thừa bậc hai. Đây là một bài toán có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.
Cho 2n điểm phân biệt trong không gian (với n ≥ 2) sao cho trong chúng không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên một mặt phẳng. Xét n^2 + 1 đoạn thẳng bất kì, mỗi đoạn có hai đầu mút là hai trong số 2n điểm trên. Chứng minh rằng có ít nhất một tam giác được tạo thành từ n^2 + 1 đoạn thẳng trên.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp không gian, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về các cấu hình hình học trong không gian và các nguyên lý đếm cơ bản. Bài toán có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet hoặc các kỹ thuật chứng minh phản chứng. Đây là một bài toán khá thú vị, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng hình dung không gian và tư duy sáng tạo.
Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2022 – 2023 tỉnh Yên Bái là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực của học sinh giỏi. Đề thi bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của môn Toán, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo.
