đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2023 – 2024 sở gd&đt quảng ninh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 04 và 05 tháng 10 năm 2023, là một bước đệm quan trọng để phát hiện và bồi dưỡng những tài năng Toán học trẻ của tỉnh, chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia đầy thử thách.

Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết các bài toán. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Dãy số

   Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 1 và u_n+1 = u_n + 1/(u_n).

   • a) Chứng minh rằng u₂₀₂₃ > 1/2023!
   • b) Chứng minh rằng các dãy số (u_n) và (n*u_n) có giới hạn hữu hạn, tìm các giới hạn đó.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về dãy số, giới hạn và các kỹ năng chứng minh bất đẳng thức. Câu a yêu cầu thí sinh phải có tư duy đánh giá một cách tinh tế, sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh. Câu b đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về tính chất của dãy số và khả năng tìm giới hạn.

2. Bài 2: Hình học

   Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử tia AB cắt tia DC tại E, tia BC cắt tia AD tại F, đường thẳng AC cắt đường thẳng EF tại G. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEG cắt lại (O) tại K khác A.

   • a) Chứng minh rằng đường thẳng KD đi qua trung điểm I của EF.
   • b) Giả sử đường thẳng EF lần lượt cắt đường thẳng BD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác IAC tại J (J khác I). Chứng minh rằng OH = OJ.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian điển hình, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, sử dụng các định lý về tứ giác nội tiếp, đường thẳng điều hòa và các tính chất liên quan đến đường tròn. Việc tìm ra các điểm và đường thẳng đặc biệt là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Với mỗi tập hợp hữu hạn X, ta kí hiệu |X| là số phần tử của X.

   • a) Cho A, B là hai tập con hữu hạn khác rỗng của R. Xét tập A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}. Chứng minh rằng |A + B| ≥ |A| + |B| – 1.
   • b) Xét tập S₂₀₂₃ = {1, 2, ..., 2023}. Cho T là tập con của S₂₀₂₃ thỏa mãn a + b + c ≠ 0 với mọi (a; b; c) thuộc T³ (T³ là tích Descartes của T với chính nó ba lần). Giá trị lớn nhất có thể của |T| là bao nhiêu?

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tập hợp, tổ hợp và các kỹ năng chứng minh. Câu a là một kết quả quen thuộc trong lý thuyết tập hợp. Câu b đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và tìm ra các cấu trúc đặc biệt để tối ưu hóa số lượng phần tử của tập T.

Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán. Việc giải và phân tích kỹ lưỡng các bài toán trong đề thi sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.