giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương tổ chức, diễn ra vào ngày 21 tháng 08 năm 2024. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Trong mỗi ô vuông đơn vị của bảng n x n, ta điền số 1 hoặc -1. Ở mỗi bước, ta chọn một ô và đổi dấu tất cả các số của 2n - 1 ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó. Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho với mọi trạng thái điền số ban đầu, sau hữu hạn bước ta có thể nhận được bảng có ít nhất k số 1 trong mỗi trường hợp sau:
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, kết hợp giữa đại số và tư duy logic. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần nắm vững các khái niệm về ma trận, định thức và các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Việc xét các trường hợp đặc biệt và sử dụng phương pháp quy nạp có thể là chìa khóa để tìm ra lời giải.
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn O. Đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC tiếp xúc với CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC, M và N là trung điểm của JF và JE.
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về hình học phẳng, bao gồm các tính chất của đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp, và các định lý về góc trong tam giác. Việc sử dụng các phép biến hình và các tính chất đối xứng có thể giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra lời giải.
Cho số nguyên dương k và số nguyên tố p > k + 1. Với mỗi số nguyên dương m không chia hết cho p, ta kí hiệu ma là số nguyên dương không vượt quá p thỏa mãn m ≡ a (mod p). Chứng minh rằng:
∑i=1p-1 ai ≡ 0 (mod p)
Nhận xét: Đây là một bài toán số học yêu cầu thí sinh phải nắm vững các khái niệm về đồng dư thức, số nguyên tố và các tính chất của chúng. Việc sử dụng các định lý về số học, chẳng hạn như định lý Fermat nhỏ, có thể giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán. giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cập nhật và chia sẻ các tài liệu ôn thi khác trong thời gian tới.
