đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt bắc ninh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh tổ chức, diễn ra vào ngày 21 tháng 08 năm 2024. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Cho a là nghiệm dương của phương trình x² + x – 5 = 0. Với số nguyên dương n nào đó, gọi c₀, c₁, c₂, …, c_n là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức c₀ + c₁a + c₂a² + … + c_naⁿ = 2025.
   • a) Chứng minh rằng c₀ + c₁ + c₂ + … + c_n chia hết cho 3.
   • b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = c₀ + c₁ + c₂ + … + c_n.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về nghiệm của phương trình bậc hai, tính chất chia hết và kỹ năng tìm min-max. Phần a yêu cầu thí sinh phải khai thác được mối liên hệ giữa các hệ số và nghiệm của phương trình, sử dụng tính chất đồng dư để chứng minh. Phần b đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng ước lượng để tìm ra giá trị nhỏ nhất của tổng.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi O, N lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Ơle của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại A’. Gọi A₁ là trung điểm của OA’. Tương tự dựng B₁, C₁.
   • a) Chứng minh các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ đồng quy tại điểm K là điểm liên hợp đẳng giác của N trong tam giác ABC.
   • b) Gọi A₂, B₂, C₂ lần lượt là giao điểm của AK, BK, CK với (O). Các điểm A₃, B₃, C₃ lần lượt là các điểm đối xứng của A₂, B₂, C₂ qua BC, CA, AB. Chứng minh các điểm O, H, A₃, B₃, C₃ cùng thuộc một đường tròn.
   Nhận xét: Đây là một bài hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn Ơle, điểm liên hợp đẳng giác và các tính chất liên quan đến đối xứng. Việc chứng minh đồng quy trong phần a và chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn trong phần b đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng các công cụ hình học và các định lý liên quan.
3. Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Một hoán vị a₁, a₂, …, a_n của dãy 1, 2, …, n được gọi là tốt nếu thỏa mãn a₁ ≤ 2a₂ ≤ 3a₃ ≤ … ≤ nan.
   • a) Chứng minh nếu a₁, a₂, …, a_n là một hoán vị tốt thì hoặc a_n = n hoặc a_n – 1 = n và a_n = n – 1.
   • b) Tìm số các hoán vị tốt.
   Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và kỹ năng đếm. Phần a yêu cầu thí sinh phải chứng minh một tính chất đặc biệt của hoán vị tốt. Phần b đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng và sử dụng các công cụ đếm để tìm ra số lượng hoán vị thỏa mãn điều kiện.

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán THPT năm 2024 – 2025 tỉnh Bắc Ninh là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Việc giải được đề thi này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.