giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề tham khảo kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng phát hành. Đề thi có cấu trúc đa dạng, đánh giá toàn diện năng lực của học sinh, với tổng cộng 05 trang và được chia thành ba phần chính:
Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu được trích từ đề thi, cùng với nhận xét ban đầu về độ khó và phương pháp tiếp cận:
Bài 1: Bài toán về xác suất
“Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em nhận hai suất quà khác loại (ví dụ một chiếc áo và một thùng sữa tươi). Trong số các em được nhận quà có hai em An và Bình. Xác suất để hai em An và Bình nhận được suất quà giống nhau bằng?”
Nhận xét: Đây là một bài toán xác suất khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về tổ hợp và xác suất có điều kiện. Điểm mấu chốt của bài toán là xác định đúng không gian mẫu và số lượng các trường hợp thuận lợi. Bài toán có độ khó tương đối, phù hợp để kiểm tra khả năng tư duy logic và tính toán chính xác của học sinh.
Bài 2: Bài toán tối ưu hóa hình học
“Cả hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Cẩm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500m, BB’ = 600m và người ta đo được A’B’ = 2200m (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cẩm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng ab (a, b thuộc R). Tính a – 20b.”
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán tối ưu hóa hình học, có thể giải quyết bằng phương pháp hình học hoặc đại số. Một cách tiếp cận hiệu quả là sử dụng tính chất đối xứng và bất đẳng thức tam giác để tìm ra vị trí tối ưu của trạm cung cấp nước. Bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học không gian và kỹ năng giải quyết bài toán tối ưu.
Bài 3: Bài toán về tăng trưởng và giảm dần
“Với mức tiêu thụ thức ăn của một trang trại A không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự trữ sẽ đủ cho 100 ngày. Nhưng thực tế, mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm 4% mỗi ngày (ngày sau tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn dự trữ đó chỉ đủ dùng cho bao nhiêu ngày?”
Nhận xét: Đây là một bài toán thực tế, liên quan đến kiến thức về cấp số nhân và ứng dụng của nó trong việc mô tả sự tăng trưởng. Bài toán đòi hỏi học sinh phải xây dựng được mô hình toán học phù hợp và giải phương trình để tìm ra số ngày sử dụng thực tế. Bài toán có tính ứng dụng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Nhìn chung, đề thi tham khảo này có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic sắc bén. Việc luyện tập với đề thi này sẽ giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng làm bài và tự tin hơn khi tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi.
