giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2022 – 2023 của Hệ thống Giáo dục Archimedes School, thành phố Hà Nội. Đề thi có cấu trúc gồm 08 bài toán tự luận, được thiết kế để đánh giá năng lực giải quyết vấn đề, khả năng tư duy logic và sự sáng tạo của học sinh. Thời gian làm bài là 135 phút, đòi hỏi học sinh phải phân bổ thời gian hợp lý và có chiến lược làm bài hiệu quả.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng (a + c)2 + (b + d)2 không thể là tích của ba số nguyên tố phân biệt.
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về số học, đặc biệt là các tính chất của số nguyên tố và khả năng phân tích đa thức thành nhân tử. Để giải quyết bài toán, học sinh cần sử dụng các kỹ thuật chứng minh phản chứng hoặc đánh giá để chỉ ra rằng biểu thức (a + c)2 + (b + d)2 không thể thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho tam giác ABC cân tại A, có BC < BA. Gọi H là giao điểm của các đường cao BE và CF của tam giác ABC.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về tam giác cân, đường cao, đường trung trực, và các tính chất của hình thang cân. Việc chứng minh OI = OK và MN vuông góc với HK đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận logic và sử dụng các công cụ hình học một cách linh hoạt.
Trên bàn có 269 thẻ bài màu đỏ, 269 thẻ bài màu xanh và 269 thẻ bài màu tím. Mỗi bước, thầy Cẩn chọn ba thẻ bài nào đó cùng màu ra khỏi bàn và thêm vào bàn một thẻ bài khác màu. Cụ thể, nếu ba thẻ bài thầy Cẩn lấy ra khỏi bàn là màu đỏ thì thầy sẽ thêm vào bàn một thẻ bài màu xanh; nếu ba thẻ bài thầy Cẩn lấy ra khỏi bàn là màu xanh thì thầy sẽ thêm vào bàn một thẻ bài màu tím; còn nếu ba thẻ bài thầy Cẩn lấy ra khỏi bàn là màu tím thì thầy sẽ thêm vào bàn một thẻ bài màu đỏ. Thầy Cẩn sẽ thực hiện quá trình làm sao để trên bàn còn lại mỗi màu không quá hai thẻ bài. Hỏi khi đó trên bàn có bao nhiêu thẻ bài màu đỏ, bao nhiêu thẻ bài màu xanh, bao nhiêu thẻ bài màu tím?
Nhận xét: Bài toán này mang tính chất tổ hợp và logic cao. Học sinh cần phân tích kỹ quy luật thay đổi số lượng thẻ bài mỗi màu sau mỗi bước thực hiện của thầy Cẩn. Để giải quyết bài toán, học sinh có thể sử dụng phương pháp xét các trường hợp hoặc tìm ra một công thức tổng quát để mô tả sự thay đổi số lượng thẻ bài.
Đánh giá chung: Đề thi chọn đội tuyển Toán 8 năm 2022 – 2023 của Archimedes School là một đề thi chất lượng, có độ khó phù hợp với trình độ của học sinh giỏi. Các bài toán trong đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang chuẩn bị tham gia các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
