Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Bình Định năm học 2019 – 2020: Đánh giá chi tiết và phân tích
Ngày 22 tháng 10 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Định đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 năm học 2019 – 2020. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng vận dụng sáng tạo các công cụ toán học.
Đề thi có cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 180 phút. Đây là một cấu trúc phổ biến trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tạo điều kiện cho thí sinh có thể trình bày đầy đủ các bước giải và suy luận logic.
Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:
Cho tam giác ABC (AC < BC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Phân giác góc C cắt đường tròn (O) tại R. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC. Đường vuông góc với AC tại K cắt CR tại P, đường vuông góc với BC tại L cắt CR tại Q. Chứng minh rằng diện tích của các hình tam giác RPK và RQL bằng nhau.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng khá điển hình, kết hợp kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường trung bình của tam giác và tính chất của phân giác. Để giải bài toán này, thí sinh cần vận dụng linh hoạt các định lý và tính chất hình học, đồng thời có khả năng phân tích và suy luận logic để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán.
Cho hình chóp giaibaitoan.com có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp; V là thể tích khối chóp và h là đường cao của hình chóp từ đỉnh S. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức V(h – r)/R^2rh.
Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực hình học không gian, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp, thể tích khối chóp và các công thức liên quan. Việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức yêu cầu thí sinh phải có kỹ năng phân tích và đánh giá biểu thức, đồng thời sử dụng các phương pháp tối ưu hóa để tìm ra kết quả.
Trên bảng kẻ ô vuông 2 × n ghi các số dương sao cho tổng của hai số trong mỗi cột bằng 1. Chứng minh rằng có thể bỏ đi một số trong mỗi cột để trên mỗi hàng các số còn lại có tổng không vượt quá (n + 1)/4.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp – số học khá thú vị, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng chứng minh. Bài toán này có thể được giải bằng phương pháp chứng minh bằng phản chứng hoặc sử dụng các tính chất của dãy số và bất đẳng thức.
Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng a^2 + b^2 + c^2 với a, b, c là các số tự nhiên sao cho a^4 + b^4 + c^4 chia hết cho p.
Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về số nguyên tố, tính chất chia hết và các định lý liên quan. Để giải bài toán này, thí sinh cần sử dụng các phương pháp phân tích và chứng minh số học, đồng thời có khả năng suy luận logic để tìm ra các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện.
Cho hai đa thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP'(x) với a, b là các số thực và a ≠ 0. Chứng minh rằng nếu đa thức Q(x) vô nghiệm thì đa thức P(x) cũng vô nghiệm.
Nhận xét: Đây là một bài toán đại số, liên quan đến đạo hàm của đa thức và tính chất của nghiệm đa thức. Để giải bài toán này, thí sinh cần nắm vững kiến thức về đạo hàm, nghiệm đa thức và các định lý liên quan. Việc chứng minh yêu cầu thí sinh phải có khả năng suy luận logic và sử dụng các công cụ đại số để tìm ra mối liên hệ giữa Q(x) và P(x).
Đánh giá chung:
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Bình Định năm học 2019 – 2020 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá đúng năng lực của học sinh. Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng vận dụng sáng tạo các công cụ toán học. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh và giáo viên đang chuẩn bị cho các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán.
File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
