đề học sinh giỏi cấp tỉnh toán 9 năm 2022 – 2023 sở gd&đt nghệ an

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh Nghệ An năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An tổ chức vào ngày 12 tháng 02 năm 2023. Đề thi bao gồm hai bảng A và B, được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x² − y² + z² = xy + 3yz + zx. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

   Nhận xét: Đây là một bài toán đại số, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt, sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc như Cauchy-Schwarz, AM-GM hoặc Schur để tìm ra giá trị lớn nhất của biểu thức P. Bài toán này có tính chất thử thách cao, đòi hỏi sự sáng tạo trong cách tiếp cận.

2. Bài toán 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC = 2R và một điểm A thay đổi trên nửa đường tròn đó (A không trùng với B và C). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N.
   • a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân.
   • b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ. Chứng minh BP ⊥ CJ.
   • c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIJ theo R.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc kiến thức hình học, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, tam giác vuông, đường tròn nội tiếp và tính chất đường thẳng. Phần a yêu cầu thí sinh chứng minh được tính chất đặc biệt của tam giác AMN, thường thông qua việc sử dụng các tính chất về góc và đường trung tuyến. Phần b đòi hỏi sự hiểu biết về các tính chất của đường tròn nội tiếp và các đường thẳng đặc biệt trong tam giác. Phần c là một bài toán tối ưu hóa, đòi hỏi thí sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa chu vi tam giác HIJ và bán kính R của đường tròn, sau đó sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất.

3. Bài toán 3: Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100m × 120m. Người ta muốn xây một sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25m × 35m và 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5m. Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất còn lại luôn tìm được một nền đất kích thước 25m x 35m để xây sân bóng.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học tổ hợp, mang tính ứng dụng cao. Bài toán này yêu cầu thí sinh phải có tư duy logic và khả năng hình dung không gian tốt. Việc chứng minh sự tồn tại của một vị trí thích hợp cho sân bóng đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ thuật chia nhỏ bài toán, ước lượng diện tích và sử dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu).

Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh Nghệ An năm học 2022 – 2023 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực của học sinh giỏi. Việc luyện tập và giải các đề thi tương tự là một phương pháp hiệu quả để các em học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.