giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Dương tổ chức, diễn ra vào ngày 02 tháng 06 năm 2022. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp thành phố và cấp tỉnh.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Phương trình: 2x3 – (y + 3)x2 + 3x – 2y = 1
Nhận xét: Đây là một bài toán về phương trình Diophantine, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, biến đổi phương trình và sử dụng các phương pháp đánh giá để tìm ra các nghiệm nguyên. Việc đưa phương trình về dạng tích hoặc sử dụng phương pháp xét các trường hợp có thể là những hướng tiếp cận hiệu quả.
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: 2a3 + 6b3 + 22c3 = 23d3. Chứng minh rằng 2a + 6b + 22c + d là hợp số.
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng chứng minh một biểu thức là hợp số. Để giải quyết bài toán, cần sử dụng các tính chất về số nguyên, số chia hết và các phương pháp chứng minh phản chứng hoặc chứng minh trực tiếp. Việc phân tích cấu trúc của phương trình và tìm mối liên hệ giữa các biến số là rất quan trọng.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AC và AB. Gọi I là giao điểm của AH và EF, BI cắt AC tại P, CI cắt AB tại K. Đường thẳng qua A song song BI cắt đường thẳng BC tại Q.
1) Chứng minh B là trung điểm của QH.
2) Chứng minh (câu hỏi bị thiếu trong đoạn trích).
3) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, O là trung điểm của BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AM. Chứng minh I là trực tâm của tam giác AMO và BDC = 90°.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về tam giác vuông, đường cao, hệ thức lượng, tính chất đường thẳng song song và các định lý về quan hệ hình học. Việc vẽ hình chính xác và sử dụng các tính chất đối xứng, đồng dạng là chìa khóa để giải quyết bài toán. Phần 3 của bài toán có độ khó cao, đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt các kiến thức và kỹ năng hình học.
Đánh giá chung: Đề thi có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh khá giỏi. Các bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy logic. Đề thi tập trung vào các chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9, bao gồm đại số (phương trình Diophantine), số học (tính chất số nguyên) và hình học (tam giác vuông, đường cao, quan hệ hình học). Đây là một đề thi chất lượng, phù hợp để các em học sinh luyện tập và nâng cao trình độ.
