đề học sinh giỏi toán 9 năm 2022 – 2023 phòng gd&đt thanh trì – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Thanh Trì, thành phố Hà Nội tổ chức. Kỳ thi được diễn ra vào sáng thứ Ba, ngày 15 tháng 11 năm 2022. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Số nguyên tố và dạng biểu diễn

   Tìm tất cả số nguyên tố p có dạng p = a² + b² + c² với a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn (a⁴ + b⁴ + c⁴) chia hết cho p.

   Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi sự hiểu biết về các tính chất của số nguyên tố, cũng như khả năng vận dụng các phép biến đổi đại số để tìm ra mối liên hệ giữa p và a, b, c. Bài toán này có thể được tiếp cận bằng cách xét các trường hợp đặc biệt của a, b, c và sử dụng các tính chất chia hết.

2. Bài 2: Hình học phẳng

   Cho hình vuông MNPQ. Gọi A là điểm bất kì trên cạnh PQ (A không trùng với hai điểm P, Q). Đường thẳng MA cắt đường thẳng NP tại điểm B. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với MA, cắt đường thẳng PQ tại C.

   1. Chứng minh rằng 1/MA² + 1/MB² không đổi.
   2. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của Q trên MA, MC. F là trung điểm AC. I là giao điểm của MF và DE. Chứng minh rằng: 1/MI = 1/QA + 1/QC.
   3. Chứng minh rằng: cosACM = giaibaitoan.com + giaibaitoan.com.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hình học phẳng, bao gồm các tính chất của hình vuông, tam giác vuông, đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, và các công thức lượng giác. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng, và sử dụng các công cụ hình học một cách linh hoạt.

3. Bài 3: Tổ hợp và bất đẳng thức

   Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1 lấy n điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có đỉnh là đỉnh của hình vuông hoặc n điểm đó sao cho diện tích S của nó thỏa mãn bất đẳng thức: S ≤ 1/2(n + 1).

   Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp giữa tổ hợp và bất đẳng thức. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần có khả năng phân tích bài toán, tìm ra các trường hợp có thể xảy ra, và sử dụng các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức.

Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh lớp 9 đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi môn Toán. Việc luyện tập với các đề thi này sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, và nâng cao kiến thức môn Toán.