giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp huyện năm học 2023 – 2024, do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Kim Thành, tỉnh Hải Dương tổ chức. Đề thi có cấu trúc tự luận, với 05 bài toán được trình bày trên 01 trang giấy, và thời gian làm bài là 120 phút (không bao gồm thời gian phát đề).
Đề thi này được đánh giá là có độ khó tương đối cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các chủ đề Toán học lớp 9, khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ và phương pháp giải toán, cũng như tư duy logic và sáng tạo. Dưới đây là phân tích chi tiết về từng bài toán:
Bài toán yêu cầu tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình x2 – 3y2 – 2xy – 2x + 14y = 11. Đây là một dạng bài toán quen thuộc trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi phương trình, sử dụng các phương pháp đánh giá và xét các trường hợp để tìm ra nghiệm. Bài toán này kiểm tra khả năng đại số và sự kiên nhẫn của thí sinh.
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 12n2 + 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng 212n2 + 1 + 2 là số chính phương. Bài toán này kết hợp kiến thức về số nguyên tố và số chính phương. Để giải bài toán này, học sinh cần phải tìm ra mối liên hệ giữa 12n2 + 1 và 212n2 + 1 + 2, sau đó sử dụng các tính chất của số chính phương để chứng minh.
Bài toán liên quan đến đường tròn và các tiếp tuyến. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại B, C. Điểm A nằm trên tia đối của BC và AM, AN là các tiếp tuyến với đường tròn. Bài toán yêu cầu chứng minh giaibaitoan.com = AM2 và giải quyết các vấn đề liên quan đến trung điểm, đường thẳng cắt và tính chất của hình học đường tròn. Đây là một bài toán hình học điển hình, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và tam giác đồng dạng.
Đây là phần mở rộng của bài toán 3, yêu cầu học sinh vận dụng các kết quả đã chứng minh được để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Việc xây dựng đường thẳng vuông góc và chứng minh P là trung điểm của ME đòi hỏi sự sáng tạo và khả năng phân tích hình học tốt.
Cho tam giác ABC, trên trung tuyến AD lấy điểm I cố định. Đường thẳng d đi qua I cắt AB, AC tại M, N. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán này kết hợp kiến thức về trung tuyến, diện tích tam giác và tối ưu hóa. Học sinh cần phải thiết lập biểu thức tính diện tích tam giác AMN theo các biến số và sử dụng các phương pháp tối ưu hóa để tìm ra giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét chung:
Đề thi có sự phân hóa rõ ràng, với các bài toán có độ khó tăng dần. Các bài toán không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh lớp 9 đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán.
