giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 9 vòng 1 năm học 2023 – 2024 của trường THCS Cầu Giấy, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 07 tháng 09 năm 2023, đây là một đề thi có chất lượng, được sử dụng trong quá trình tuyển chọn thành viên cho đội tuyển học sinh giỏi của trường.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho x và y là các số nguyên dương thỏa mãn x3 + y và x + y3 cùng chia hết cho x2 + y2. Chứng minh rằng 2x + 2y là số chính phương.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi sự linh hoạt trong việc sử dụng các tính chất chia hết và kỹ năng biến đổi đại số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần tìm cách thiết lập mối liên hệ giữa các điều kiện chia hết đã cho và biểu thức cần chứng minh là số chính phương. Bài toán này đánh giá khả năng phân tích và suy luận logic của học sinh.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H thuộc BC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.
Nhận xét: Bài toán hình học này kết hợp kiến thức về tam giác vuông, đường cao, tính chất đường thẳng song song và các trường hợp đồng dạng tam giác. Việc chứng minh các mối quan hệ đồng dạng và góc bằng nhau đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, phân tích hình vẽ và vận dụng các định lý hình học một cách chính xác. Câu c là một câu hỏi nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi và sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Xét tập T = {1; 2; 3; …; 13}. Lập tất cả các tập con hai phần tử trong T sao cho hiệu của hai phần tử đó là 5 hoặc 8. Cho M là tập con của S = {1; 2; 3; …; 869} có tính chất hiệu hai số bất kỳ của M không là 5 hoặc 8. Hỏi M có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
Nhận xét: Bài toán tổ hợp này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về tập hợp, tập con và cách đếm số lượng phần tử. Phần đầu của bài toán yêu cầu học sinh liệt kê và đếm các tập con thỏa mãn điều kiện cho trước. Phần sau là một bài toán tối ưu hóa, đòi hỏi học sinh phải tìm ra một cách chọn các phần tử sao cho tập M có số lượng phần tử lớn nhất, đồng thời thỏa mãn điều kiện không có hai phần tử nào có hiệu là 5 hoặc 8. Bài toán này đánh giá khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề của học sinh.
Đây là một đề thi có độ khó vừa phải, phù hợp với trình độ của học sinh lớp 9 có nguyện vọng tham gia đội tuyển học sinh giỏi môn Toán. Đề thi bao gồm các dạng bài tập khác nhau, giúp đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng của học sinh. Việc luyện tập với đề thi này sẽ giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán khó.
