giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 của trường THCS Đặng Thai Mai, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An. Đi kèm với đề thi là đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho công tác ôn luyện và đánh giá năng lực học sinh.
Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải quyết vấn đề. Các bài toán được xây dựng có tính sáng tạo, thách thức học sinh trong việc tìm tòi các hướng tiếp cận khác nhau. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn a > b và a2 + b2 + 1 = 2(ab + a + b). Chứng minh a, b là hai số chính phương liên tiếp.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Để giải bài toán này, học sinh cần biến đổi khéo léo phương trình đã cho về dạng hiệu các bình phương, sau đó sử dụng các tính chất của số chính phương để chứng minh.
Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc các tia HC, HB sao cho ∠EAB = ∠FAC = 90°.
Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về tam giác vuông, hệ thức lượng trong tam giác vuông, và các tính chất của đường cao trong tam giác. Ý a là cơ sở để giải quyết các ý sau. Ý b và c đòi hỏi học sinh phải có tư duy hình học không gian tốt, kết hợp các kỹ năng chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh đường thẳng vuông góc, và sử dụng các tính chất của trung điểm, đường trung bình.
Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học khá khó, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về phân tích số ra thừa số nguyên tố và áp dụng nguyên lý Dirichlet (bồ câu). Học sinh cần nhận ra rằng mỗi số trong năm số đã cho có dạng 2a.3b với a, b là các số nguyên không âm. Sau đó, sử dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh tồn tại hai số có số mũ của 2 và 3 cùng tính chẵn lẻ, từ đó suy ra tích của chúng là một số chính phương.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh ôn luyện và rèn luyện kỹ năng giải toán, đồng thời giúp thầy cô giáo có thêm nguồn tài liệu để đánh giá năng lực học sinh. giaibaitoan.com hy vọng rằng các em học sinh sẽ đạt được kết quả tốt nhất trong các kỳ thi sắp tới.
