giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề thi Olympic Toán dành cho học sinh THCS, hướng tới kỳ thi học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 tại trường THPT chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa. Kỳ thi chính thức được tổ chức vào ngày 05 tháng 11 năm 2023. Đi kèm với đề thi là đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho quá trình ôn luyện và đánh giá năng lực.
Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết các bài toán. Dưới đây là trích dẫn và phân tích sơ bộ về nội dung các bài toán:
Cho A là số nguyên dương và phương trình nghiệm nguyên ax + by = c với các hệ số nguyên a, b, c thỏa mãn a, b nguyên tố cùng nhau và a, b ≤ A. Chứng minh số nghiệm nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x ≤ A, y ≤ A của phương trình đã cho không vượt quá 3Ab.
Nhận xét: Đây là một bài toán về phương trình Diophantine tuyến tính. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về ước chung lớn nhất, điều kiện có nghiệm của phương trình Diophantine, và kỹ năng đếm số nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài toán đòi hỏi sự kết hợp giữa đại số và tổ hợp, đồng thời cần có tư duy logic để tìm ra các ràng buộc và đánh giá số lượng nghiệm.
Gọi O là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Đường thẳng qua O và vuông góc với CO cắt CA tại M, cắt CB tại N. Chứng minh rằng:
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường phân giác, tính chất của giao điểm ba đường phân giác (tâm đường tròn nội tiếp), và các tiêu chí nhận biết tam giác đồng dạng (góc – góc, cạnh – góc, cạnh – cạnh). Phần b của bài toán đòi hỏi học sinh phải sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thức.
Cạnh BC của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp O của tam giác đó tại điểm D. Chứng minh rằng tâm O của đường tròn này nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng BC và AD.
Nhận xét: Bài toán này liên quan đến tính chất của đường tròn nội tiếp, điểm tiếp xúc của đường tròn với cạnh tam giác, và khái niệm về trung điểm. Để giải quyết bài toán, học sinh cần sử dụng các tính chất hình học cơ bản, kết hợp với việc xây dựng các điểm và đường thẳng phụ để chứng minh O nằm trên đường thẳng cần tìm.
Đánh giá chung: Bộ đề thi Olympic Toán 9 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2023 – 2024 là một tài liệu ôn tập hữu ích cho học sinh có năng lực và đam mê với môn Toán. Các bài toán trong đề thi có tính phân loại cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy logic và sáng tạo. Việc có đáp án và hướng dẫn chấm điểm chi tiết sẽ giúp học sinh tự đánh giá năng lực và tìm ra những điểm cần cải thiện.
