giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2021 – 2022 của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, tỉnh Đồng Nai. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 15 tháng 4 năm 2022, đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, quốc gia.
Đề thi bao gồm ba bài toán, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đại số, số học và tổ hợp, đồng thời khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết vấn đề. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:
Cho phương trình bậc ba x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm nguyên phân biệt. Chứng minh rằng phương trình bậc hai x2 – 2ax + 3b = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt là m và n.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc ba và bậc hai. Để giải quyết bài toán, học sinh cần sử dụng các định lý Viète để thiết lập mối quan hệ giữa các hệ số của phương trình và các nghiệm của nó. Đồng thời, cần chú ý đến điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
Cho abc là một số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về số nguyên tố và nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc hai. Để giải quyết bài toán, học sinh cần sử dụng tiêu chuẩn nghiệm hữu tỷ và tính chất của số nguyên tố. Việc chứng minh phương trình không có nghiệm hữu tỷ đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng và sử dụng các lập luận logic.
Một nhóm học sinh gồm sáu em, trong đó có hai em lớp A, hai em lớp B và hai em lớp C. Mỗi ngày một lần, các em xếp thành một hàng dọc sao cho chỉ có đúng một cặp hai em cùng lớp đứng cạnh nhau. Biết rằng không có hai ngày có cách xếp giống nhau, vậy các em có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu ngày?
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng đếm chính xác. Để giải quyết bài toán, học sinh cần xác định rõ các ràng buộc của bài toán và sử dụng các kỹ thuật đếm như hoán vị, tổ hợp, nguyên lý bù trừ hoặc phương pháp quy hoạch. Bài toán này có độ khó cao và đòi hỏi sự kiên nhẫn và sáng tạo.
Đánh giá chung: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2021 – 2022 trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai có chất lượng tốt, bao gồm các bài toán có tính phân loại cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu rộng và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này là một tài liệu luyện tập hữu ích cho các em học sinh có đam mê và năng khiếu với môn Toán.
