đề kscl học sinh giỏi toán 8 năm 2023 – 2024 phòng gd&đt phúc thọ – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2023 – 2024 do Phòng Giáo dục và Đào tạo UBND huyện Phúc Thọ, thành phố Hà Nội tổ chức. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá, giúp đánh giá năng lực và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có năng khiếu môn Toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi, kèm theo một số nhận xét và phân tích chuyên sâu:

1. Bài toán 1: Tìm đa thức A(x)

   Đề bài yêu cầu tìm đa thức A(x) thỏa mãn các điều kiện về số dư khi chia cho các đa thức khác nhau. Đây là một bài toán điển hình về ứng dụng định lý Bezout và phép chia đa thức. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức về:

   • Định lý Bezout: Số dư của đa thức A(x) khi chia cho (x - a) bằng A(a).
   • Phép chia đa thức: Biểu diễn đa thức A(x) dưới dạng A(x) = (x + 4)Q₁(x) + 9, A(x) = (x - 3)Q₂(x) + 2 và A(x) = (x² + x - 12)Q₃(x) + R(x), trong đó R(x) là đa thức dư có bậc nhỏ hơn 2.
   • Kết hợp các điều kiện để xác định hệ số của đa thức A(x).

   Bài toán này đòi hỏi học sinh có tư duy logic và kỹ năng biến đổi đa thức tốt.

2. Bài toán 2: Hình học – Hình vuông ABCD và điểm M trên BC

   Bài toán này tập trung vào kiến thức về hình vuông, tính chất đường song song, và các dấu hiệu nhận biết hình thoi. Cụ thể:

   • Phần a: Yêu cầu chứng minh BM = ND và ba điểm N, D, C thẳng hàng. Để giải quyết, học sinh cần sử dụng các tính chất của hình vuông, tam giác bằng nhau (có thể sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh hoặc cạnh - góc - cạnh), và kết hợp với giả thiết về vị trí của điểm N.
   • Phần b: Yêu cầu chứng minh tứ giác EMFN là hình thoi. Học sinh cần chứng minh EMFN có bốn cạnh bằng nhau hoặc có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Việc sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và các tính chất của hình vuông sẽ rất hữu ích.
   • Phần c: Yêu cầu chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC. Đây là phần khó nhất của bài toán, đòi hỏi học sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác MFC và vị trí của điểm M. Việc sử dụng định lý Pitago và các tính chất của hình vuông sẽ giúp học sinh giải quyết bài toán này.

   Bài toán này đánh giá khả năng suy luận logic, vẽ hình và chứng minh hình học của học sinh.

3. Bài toán 3: Số học – Sáu số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 10

   Đây là một bài toán về nguyên lý Dirichlet (pigeonhole principle). Nguyên lý này phát biểu rằng nếu có n + 1 đối tượng được đặt vào n hộp, thì ít nhất một hộp phải chứa ít nhất hai đối tượng. Trong bài toán này, học sinh cần:

   • Phân tích các trường hợp có thể xảy ra.
   • Áp dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh rằng luôn tồn tại ba số trong đó có một số bằng tổng hai số còn lại.

   Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy trừu tượng và áp dụng các nguyên lý toán học vào giải quyết vấn đề của học sinh.

Nhận xét chung: Đề thi có độ khó tương đối cao, phù hợp với học sinh giỏi. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm các kiến thức về đa thức, hình học và số học. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế. Đây là một đề thi tốt để học sinh rèn luyện và nâng cao năng lực toán học.