đề thi chọn học sinh giỏi toán 11 năm học 2016 – 2017 sở gd và đt vĩnh phúc

Phân tích Đề thi Chọn Học sinh Giỏi Toán 11, Năm học 2016-2017, Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc: Nhìn nhận từ cấu trúc và độ khó

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm học 2016-2017 của Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc là một đề thi tự luận với 5 bài toán, được đánh giá là có độ khó tương đối cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, công thức toán học. Việc đề thi có kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm là một điểm cộng, giúp thí sinh tự đánh giá năng lực và học hỏi kinh nghiệm.

Dưới đây là phân tích chi tiết hơn về hai bài toán tiêu biểu được trích dẫn:

1. Bài toán Hình học: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh AC và M là trung điểm cạnh BC. Đoạn thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại điểm E. Đường thẳng BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tại điểm F khác B. Đường thẳng AF cắt đường thẳng BE tại I, đường thẳng CI cắt đường thẳng BD tại K.
   • Yêu cầu a: Chứng minh rằng DA = DF.
   • Yêu cầu b: Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp, các tính chất của tam giác cân và khả năng sử dụng các định lý về góc và đường thẳng song song, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Việc chứng minh DA = DF có thể được thực hiện thông qua việc sử dụng các tam giác đồng dạng hoặc các hệ thức lượng trong tam giác. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK đòi hỏi thí sinh phải chứng minh AI, BI, KI lần lượt là phân giác của các góc BAK, ABK, AKB. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích hình học, xây dựng các mối liên hệ giữa các yếu tố hình học và vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết vấn đề.

2. Bài toán Số học: Cho S là một số nguyên dương sao cho S chia hết cho tất cả các số nguyên dương từ 1 đến 2017. Xét k số nguyên dương a₁, a₂, … a_k (không nhất thiết phân biệt) thuộc tập hợp {1, 2, … 2017} thỏa mãn a₁ + a₂ + … + a_k ≥ 2S. Chứng minh rằng ta có thể chọn ra từ các số a₁, a₂, … a_k một vài số sao cho tổng của chúng bằng S.

   Nhận xét: Đây là một bài toán số học mang tính chất tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về tính chia hết, nguyên lý Dirichlet và khả năng tư duy logic. Việc chứng minh có thể được thực hiện bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh rằng tồn tại một tập con của các số a_i có tổng bằng S. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích bài toán, xây dựng các lập luận logic và vận dụng các kiến thức số học để giải quyết vấn đề.

Đánh giá chung: Đề thi thể hiện sự cân bằng giữa các chủ đề hình học và số học, đồng thời có độ phân hóa tốt, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh. Các bài toán trong đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy sáng tạo và khả năng trình bày bài toán một cách rõ ràng, logic.