đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 năm 2015 – 2016 sở gd&đt ninh bình

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 THCS cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2015 – 2016, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình tổ chức vào ngày 02 tháng 03 năm 2016. Đề thi này không chỉ là một bài kiểm tra năng lực mà còn là cơ hội để học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán phức tạp, đòi hỏi sự sáng tạo và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Điểm đặc biệt của đề thi này là được cung cấp kèm theo đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho quá trình tự học và ôn luyện.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Phương trình bậc hai và điều kiện nghiệm

   Cho phương trình: 2x² + 2mx - x - m = 0 (m là tham số, x là ẩn).

   • 1. Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
   • 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho: x₁² + x₂² = 55 (với x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình).

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc nắm vững lý thuyết về phương trình bậc hai, bao gồm điều kiện có nghiệm phân biệt và các công thức liên hệ giữa nghiệm và hệ số. Phần 2 của bài toán đòi hỏi học sinh phải biến đổi khéo léo để đưa về một biểu thức quen thuộc và giải quyết.

2. Bài toán 2: Bất đẳng thức và điều kiện ràng buộc

   Cho các số thực không âm x, y, z đôi một khác nhau đồng thời thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x² + y² + z² < 1/3.

   Nhận xét: Bài toán này là một dạng bài bất đẳng thức quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức AM-GM, kết hợp với điều kiện ràng buộc x + y + z = 1.

3. Bài toán 3: Hình học và quan hệ vị trí

   Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP với đường tròn (A, B là các tiếp điểm, N nằm giữa M và P). Gọi H là giao điểm của AB và MO.

   • 1. Chứng minh: Tứ giác NHOP nội tiếp được đường tròn.
   • 2. Kẻ dây cung PQ vuông góc với đường thẳng MO. Chứng minh ba điểm N, H, Q thẳng hàng.
   • 3. Gọi E là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đường tròn (O). Chứng minh: NE là tia phân giác của góc MNH.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các tính chất của đường tròn, tiếp tuyến, cát tuyến và các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Việc vẽ hình chính xác và phân tích các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng là rất quan trọng để giải quyết bài toán này.

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh Ninh Bình năm 2015 – 2016 là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên trong quá trình chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi. Việc nghiên cứu kỹ đề thi này sẽ giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và nâng cao kiến thức toán học.