giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định. Kỳ thi chính thức được tổ chức vào ngày 10 tháng 3 năm 2023.
Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học và đại số, cùng với khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải quyết vấn đề. Dưới đây là chi tiết về các bài toán trong đề thi:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). BH và CQ là hai đường cao của tam giác. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đoạn thẳng OM cắt BC và đường tròn (O) lần lượt tại N và D. Tia AD cắt BC tại F, AM cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K (K khác A). Yêu cầu:
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu rộng về các tính chất của đường tròn, tam giác, đường cao, tiếp tuyến và các mối quan hệ giữa chúng. Việc sử dụng các định lý về góc, tam giác đồng dạng và các phép biến hình là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích, tổng hợp và suy luận logic của học sinh.
Lấy 2018 điểm phân biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh của ngũ giác đó, ta được 2023 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của ngũ giác là 1 đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2023 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1/4039 đơn vị.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp và hình học. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần sử dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý hộp) để chứng minh sự tồn tại của tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy trừu tượng và khả năng áp dụng các nguyên lý toán học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Xét a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≥ 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực đại số, cụ thể là các bài toán về bất đẳng thức. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q, học sinh cần sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM hoặc các phương pháp khác phù hợp. Bài toán này kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức về bất đẳng thức và kỹ năng biến đổi đại số của học sinh.
Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 tỉnh Nam Định là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá năng lực của học sinh một cách toàn diện. Việc luyện tập và làm quen với các dạng bài tập tương tự là rất cần thiết để học sinh có thể đạt kết quả tốt trong các kỳ thi học sinh giỏi.
