đề thi chọn hsg toán 9 vòng 1 năm 2019 – 2020 phòng gd&đt thường tín – hà nội

Phân tích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 9 Vòng 1 – Phòng GD&ĐT Thường Tín, Hà Nội (Năm học 2019-2020)

Ngày … tháng 10 năm 2019, Phòng Giáo dục và Đào tạo UBND huyện Thường Tín, thành phố Hà Nội đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 môn Toán năm học 2019 – 2020. Đề thi này được đánh giá là có độ khó tương đối, phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực học sinh khá giỏi, đồng thời có tính phân loại học sinh rõ ràng.

Đề thi có cấu trúc gồm 01 trang, chứa 05 bài toán tự luận, với thời gian làm bài là 120 phút. Nội dung đề thi bao gồm các chủ đề quen thuộc trong chương trình Toán 9, nhưng được trình bày dưới dạng đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Dưới đây là chi tiết về ba bài toán được trích dẫn, kèm theo nhận xét và gợi ý hướng giải:

1. Bài toán 1: Hình học – Đường tròn

   Cho hai đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R/2) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Trên đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB ở Q và cắt đường tròn (O’) ở P.

   • a. Chứng minh: Tam giác OAM đồng dạng với tam giác OAN.
   • b. Tính: NQ theo R.
   • c. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất theo R.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học điển hình, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đường tròn, các góc liên quan đến đường tròn, và các định lý về tam giác đồng dạng. Ý a là cơ sở để giải các ý còn lại. Ý c là ý khó nhất, đòi hỏi học sinh phải có tư duy hình học tốt và biết cách sử dụng các công thức tính diện tích. Việc tìm ra mối liên hệ giữa vị trí M và diện tích tứ giác ABQN là một thách thức lớn.

   Gợi ý hướng giải:

   • a. Sử dụng góc nội tiếp chắn cung bằng nhau, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau, từ đó suy ra tam giác đồng dạng.
   • b. Sử dụng tính chất đường thẳng song song và định lý Thales để tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng.
   • c. Biểu diễn diện tích tứ giác ABQN theo R và các yếu tố hình học liên quan đến vị trí M. Sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất của diện tích.
2. Bài toán 2: Hình học – Đường thẳng và tam giác

   Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P. Chứng minh rằng: OA/AM + OB/BN + OC/CP = 2.

   Nhận xét: Bài toán này là một ứng dụng của định lý Menelaus hoặc định lý Ceva. Tuy nhiên, cách tiếp cận trực tiếp bằng các định lý này có thể khá phức tạp. Một hướng tiếp cận khác là sử dụng diện tích tam giác.

   Gợi ý hướng giải: Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác BCM với đường thẳng AP, hoặc sử dụng diện tích tam giác để biểu diễn các tỉ số và rút gọn.

3. Bài toán 3: Đại số – Bất đẳng thức

   Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x³ + y³ = x – y. Chứng minh rằng: x + y < 1.

   Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải biết cách sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số. Điều kiện x³ + y³ = x – y có vai trò quan trọng trong việc tìm ra mối liên hệ giữa x và y.

   Gợi ý hướng giải: Biến đổi biểu thức x³ + y³ = x – y thành (x + y)(x² - xy + y²) = x – y. Phân tích và sử dụng các bất đẳng thức để chứng minh x + y < 1.

Đánh giá chung: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 vòng 1 – Phòng GD&ĐT Thường Tín, Hà Nội (Năm học 2019-2020) là một đề thi tốt, có tính phân loại học sinh cao. Các bài toán trong đề thi đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt, và tư duy sáng tạo. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.