Phân tích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán THPT Cấp Tỉnh Phú Yên Năm Học 2018 – 2019
Ngày 28 tháng 03 năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019. Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Đề thi có cấu trúc tự luận với 06 bài toán, thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian phát đề), và thang điểm tối đa là 20 điểm.
Dưới đây là phân tích chi tiết về ba bài toán được trích dẫn từ đề thi:
Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức (q – n)^2 + (p – m)(pn – qm) < 0. Chứng minh rằng hai phương trình x^2 + px + q = 0 và x^2 + mx + n = 0 đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số.
Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp kiến thức về bất đẳng thức và phương trình bậc hai. Điều kiện (q – n)^2 + (p – m)(pn – qm) < 0 là một điều kiện khá đặc biệt, đòi hỏi thí sinh phải biến đổi khéo léo để suy ra các tính chất của nghiệm phương trình. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và chứng minh của học sinh.
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
a) Chứng minh rằng giaibaitoan.com^2 + giaibaitoan.com^2 + giaibaitoan.com^2 = abc.
b) Chứng minh rằng √a(bc – IA^2) + √(b(ca – IB^2) + √c(ab – IC^2) ≤ 6√abc. Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn nội tiếp tam giác và các tính chất liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp. Phần a yêu cầu thí sinh sử dụng các công thức tính khoảng cách và các tính chất hình học để chứng minh đẳng thức. Phần b là một bài toán bất đẳng thức khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc như AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.
Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 1.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + yz + 2019zx.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = xy + yz + 2zx.
Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức quen thuộc, yêu cầu thí sinh tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức với điều kiện ràng buộc. Để giải quyết bài toán này, thí sinh có thể sử dụng các phương pháp như phương pháp đánh giá, phương pháp đổi biến hoặc phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Hệ số 2019 trong biểu thức P có thể gây khó khăn cho việc tìm giá trị nhỏ nhất, đòi hỏi thí sinh phải có sự nhạy bén trong việc lựa chọn phương pháp giải.
Đánh giá chung: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh Phú Yên năm học 2018 – 2019 có độ khó cao, bao gồm các bài toán đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi tập trung vào các chủ đề chính như bất đẳng thức, phương trình, hình học và các ứng dụng của chúng. Đây là một đề thi tốt để đánh giá năng lực của học sinh giỏi Toán THPT.
