Phân tích Đề thi Học sinh Giỏi Toán 10 năm học 2020 – 2021, Trường THPT Đan Phượng, Hà Nội
Đề thi Học sinh Giỏi Toán 10 của Trường THPT Đan Phượng năm học 2020 – 2021 là một đề thi tự luận với cấu trúc khá điển hình cho các kỳ thi học sinh giỏi cấp trường và cấp thành phố. Đề thi bao gồm 4 bài toán, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 120 phút. Nhìn chung, đề thi đánh giá khả năng nắm vững kiến thức nền tảng, kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic của học sinh.
Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài toán:
Đề bài: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: a + b + c = abc và abc ≠ 0. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức khá quen thuộc, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kỹ năng biến đổi bất đẳng thức, sử dụng các đánh giá và điều kiện ràng buộc để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và xử lý thông tin của học sinh. Để giải quyết bài toán này, học sinh có thể sử dụng các phương pháp như đánh giá bằng các bất đẳng thức cơ bản (AM-GM, Cauchy-Schwarz), hoặc sử dụng phương pháp đổi biến để đơn giản hóa biểu thức.
Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(4;5) và tạo với đường thẳng 7x + 8y = 0 một góc 45°.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về kiến thức về phương trình đường thẳng, đặc biệt là việc tính góc giữa hai đường thẳng. Học sinh cần nắm vững công thức tính góc giữa hai đường thẳng và sử dụng các điều kiện đề bài để tìm ra phương trình đường thẳng cần tìm. Bài toán này đòi hỏi sự chính xác trong tính toán và khả năng áp dụng công thức một cách linh hoạt.
Đề bài: Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABO và CDO. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng HK // MN.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học chứng minh quan hệ song song, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các tính chất của tứ giác, tam giác, trung điểm, trực tâm và các định lý liên quan đến đường thẳng song song. Bài toán này kiểm tra khả năng suy luận logic, vẽ hình và trình bày một cách chặt chẽ. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần sử dụng các kiến thức về vectơ, hoặc sử dụng các tính chất hình học để chứng minh hai đường thẳng HK và MN cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó, hoặc chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 0°.
Đánh giá chung:
Đề thi có độ khó tương đối, phù hợp với trình độ của học sinh giỏi Toán 10. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm các chủ đề khác nhau như bất đẳng thức, hình học, phương trình đường thẳng. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi này, học sinh cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức, kỹ năng và luyện tập thường xuyên với các bài toán tương tự.
