đề thi hsg toán 10 năm 2022 – 2023 lần 1 trường chuyên khtn – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023, vòng 1 của trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 08 tháng 08 năm 2022. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài 1: Số học

   Tìm tất cả các số nguyên n sao cho 5n – 1, 55n + 11 là hai số chính phương và 55n² – 149 là số nguyên tố.

   Nhận xét: Đây là một bài toán số học kết hợp nhiều kiến thức về số chính phương và số nguyên tố. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các tính chất của số chính phương, số nguyên tố và sử dụng các phương pháp như đánh giá, xét tính chia hết. Bài toán đòi hỏi sự kiên nhẫn và khả năng biến đổi đại số linh hoạt.

2. Bài 2: Bất đẳng thức và dãy số

   Xét 100 số nguyên a₁, a₂, …, a₉₉, a₁₀₀ có tính chất sau: a₁ = a₁₀₀ = 0 và với mỗi số nguyên dương 2 < i < 99 ta đều có a_i > (a_i-1 + a_i+1)/2. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của a₂₃?

   Nhận xét: Bài toán này liên quan đến bất đẳng thức và dãy số. Điều kiện a_i > (a_i-1 + a_i+1)/2 cho thấy dãy số có tính chất lồi. Để tìm giá trị nhỏ nhất của a₂₃, học sinh cần tìm hiểu về tính chất của dãy số lồi và sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa.

3. Bài 3: Hình học

   Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD của (O). M là trung điểm CD. Lấy Q thuộc đường thẳng AD sao cho PQ và PM vuông góc. Trên BQ lấy R sao cho PR vuông góc với CD.

   • a) Chứng minh rằng PB và OM cắt nhau trên đường tròn đường kính QM.
   • b) Chứng minh rằng tứ giác PCRD và tam giác RAB có diện tích bằng nhau.
   • c) Hỏi có tất cả bao nhiêu vị trí của P để RA vuông góc RB? Hãy giải thích.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, tính chất của trung điểm, đường vuông góc và các định lý hình học cơ bản. Việc chứng minh các mối quan hệ hình học và tính toán diện tích đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng vẽ hình chính xác. Câu c) thường là câu hỏi mở, đòi hỏi học sinh phải xét các trường hợp đặc biệt và đưa ra kết luận dựa trên phân tích hình học.

Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10. Việc giải các bài toán trong đề thi này sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, nâng cao kiến thức và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi sắp tới.