giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 lần thứ 15 năm 2024, được tổ chức bởi Hội các trường THPT chuyên vùng Đồng bằng sông Hồng và Bắc Bộ. Kỳ thi diễn ra vào ngày 16 tháng 7 năm 2024, là một thử thách học thuật quan trọng dành cho những học sinh có niềm đam mê và năng lực đặc biệt với môn Toán.
Đề thi năm nay bao gồm ba bài toán, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và tư duy sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Tia phân giác trong góc BAC cắt các đường thẳng OF, OE lần lượt tại P và Q, đồng thời cắt lại đường tròn (O) tại điểm D.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất của trực tâm và trung điểm. Việc chứng minh diện tích hai tam giác bằng nhau đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích hình học tốt và sử dụng các công thức tính diện tích một cách hiệu quả. Phần b của bài toán yêu cầu thí sinh phải kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, đồng thời có tư duy logic để tìm ra mối liên hệ giữa các điểm và đường thẳng.
Cho số nguyên a và số nguyên dương n. Chứng minh rằng chia hết cho n, trong đó (x;y) được kí hiệu là ước chung lớn nhất của hai số nguyên x và y.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các khái niệm về ước chung lớn nhất, tính chia hết và các tính chất liên quan. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần sử dụng các công cụ đại số và kỹ thuật chứng minh phù hợp.
Một hình chữ nhật gồm hai ô vuông đơn vị 2 x 1 hoặc 1 x 2 được gọi là một domino. Người ta đặt các domino lên một bảng n x n (n nguyên dương, n ≥ 2) ô vuông đơn vị sao cho mỗi domino phủ đúng 2 ô của bảng và không có ô nào được phủ bởi 2 domino khác nhau (tức là các domino không xếp chồng lên nhau). Tổng số domino mà các ô của chúng phủ ít nhất một ô của hàng hoặc cột được gọi là trị số của hàng hoặc cột đó. Một cách đặt được gọi là cân bằng nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho mỗi hàng và mỗi cột của nó đều có trị số là k.
Nhận xét: Bài toán này là một bài toán tổ hợp thú vị, kết hợp giữa tư duy hình học và đại số. Phần a yêu cầu thí sinh phải tìm ra các cách đặt domino cụ thể để chứng minh sự tồn tại của cách đặt cân bằng. Phần b là một bài toán khó hơn, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng suy luận logic và sử dụng các kỹ thuật đếm để giải quyết.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 lần thứ 15 năm 2024 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá năng lực của học sinh một cách toàn diện. giaibaitoan.com hy vọng rằng việc giới thiệu đề thi này sẽ góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán trong các trường THPT chuyên vùng Đồng bằng sông Hồng và Bắc Bộ.
